Étale topos - Étale topos

В математика, то étale topos схемы Икс это категория всех этальные снопы на Икс. Эталь пучок это связка на эталонном сайте Икс.

Определение

Позволять Икс быть схемой. An эталонное покрытие из Икс это семья ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to X\}_{i\in I}}$, где каждый ${\displaystyle \varphi _{i}}$ этальный морфизм схем, такой, что семейство совместно сюръективно, т.е. ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}(U_{i})}$.

Категория Ét (Икс) - категория всех этальных схем над Икс. Коллекция всех этальных покрытий этальной схемы U над Икс т.е. объект в Ét (Икс) определяет Претопология Гротендика на Ét (Икс), что, в свою очередь, индуцирует Топология Гротендика, то этальная топология на Икс. Категория вместе с этальной топологией на ней называется эталонный сайт на Икс.

В étale topos ${\displaystyle X^{\text{ét}}}$ схемы Икс тогда является категорией всех пучков множеств на сайте Ét (Икс). Такие пучки называются этальными пучками на Икс. Другими словами, этальная связка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это (контравариантный ) функтор из категории Ét (Икс) в категорию множеств, удовлетворяющих следующей аксиоме пучка:

Для каждой этали U над Икс и каждое этальное покрытие ${\displaystyle \{\varphi _{i}:U_{i}\to U\}}$ из U последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{ij})}$

точно, где ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{U}U_{j}}$.