Анатолий Карацуба - Anatoly Karatsuba

Анатолий Алексеевич Карацуба
Родившийся	(1937-01-31)31 января 1937 г. Грозный, Советский союз
Умер	28 сентября 2008 г.(2008-09-28) (71 год) Москва, Россия
Национальность	русский
Альма-матер	Московский Государственный Университет
Научная карьера
Поля	Математик

Анатолий Алексеевич Карацуба (его имя часто пишется Анатолий) (русский: Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба; Грозный, Советский союз, 31 января 1937 г. - Москва, Россия, 28 сентября 2008 г.^[1]) был русский математик работает в сфере аналитическая теория чисел, п-адические числа и Серия Дирихле.

Большую часть своей студенческой и профессиональной жизни он был связан с Механико-математический факультет из Московский Государственный Университет, защищая D.Sc. там под названием «Метод тригонометрических сумм и промежуточных теорем» в 1966 году.^[2] Позже он занимал должность в Математический институт им. В.А. Стеклова из Академия Наук.^[2]

Его учебник Основы Аналитическая теория чисел вышел в два выпуска, 1975 и 1983 гг.^[2]

В Алгоритм Карацубы самый ранний из известных разделяй и властвуй алгоритм за умножение и живет как особый случай его прямого обобщения, Алгоритм Тоома – Кука.^[3]

Основные исследования Анатолия Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях.^[4]

Его дочь, Екатерина Карацуба, тоже математик, построил FEE метод.

Награды и звания

• 1981: Премия им. П.Л. Чебышева АН СССР.
• 1999: Заслуженный деятель науки России.
• 2001: Премия им. И.М. Виноградова Российской академии наук.

Ранние работы по информатике

Будучи студенткой МГУ им. М.В. Ломоносова, Карацуба посетила семинар Андрей Колмогоров и нашел решение двух задач, поставленных Колмогоровым. Это было важно для развития теории автоматов и положило начало новому разделу в математике - теории быстрых алгоритмов.

Автоматы

В статье Эдвард Ф. Мур,^[5] ${displaystyle (n;m;p)}$, автомат (или машина) ${displaystyle S}$, определяется как устройство с ${displaystyle n}$ состояния, ${displaystyle m}$ входные символы и ${displaystyle p}$ выходные символы. Девять теорем о строении ${displaystyle S}$ и эксперименты с ${displaystyle S}$ доказаны. Позже такие ${displaystyle S}$ машины получил имя Машины Мура. В конце статьи, в главе «Новые задачи», Мур формулирует задачу улучшения оценок, полученных им в теоремах 8 и 9:

Теорема 8 (Мур). Учитывая произвольную ${displaystyle (n;m;p)}$ машина ${displaystyle S}$, так что каждые два состояния можно отличить друг от друга, существует эксперимент продолжительности ${displaystyle n(n-1)/2}$ что определяет состояние ${displaystyle S}$ в конце этого эксперимента.

В 1957 г. Карацуба доказал две теоремы, полностью решившие проблему Мура об улучшении оценки продолжительности эксперимента в его работе. Теорема 8..

Теорема А (Карацуба). Если ${displaystyle S}$ это ${displaystyle (n;m;p)}$ машина такая, что каждые два ее состояния можно отличить друг от друга, то существует разветвленный эксперимент продолжительностью не более ${displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$, с помощью которых можно найти состояние ${displaystyle S}$ в конце эксперимента.

Теорема B (Карацуба). Существует ${displaystyle (n;m;p)}$ машины, каждое состояние которой можно отличить друг от друга, так что длина самого короткого эксперимента, на котором определяется состояние машины в конце эксперимента, равна ${displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$.

Эти две теоремы были доказаны Карацубой на 4-м курсе в качестве основы его 4-летнего проекта; Соответствующая статья поступила в журнал «Успехи матем. наук» 17 декабря 1958 г. и опубликована в июне 1960 г.^[6] Вплоть до сегодняшнего дня (2011 г.) этот результат Карацубы, впоследствии получивший название «теорема Мура-Карацубы», остается единственным точным (единственный точный нелинейный порядок оценки) нелинейным результатом как в теории автоматов, так и в теории автоматов. в аналогичных задачах теории сложности вычислений.

Работает в области теории чисел

Основные исследования А.А. Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях.^{[7][8][9][10]}

В п-адический метод

А.А. Карацуба построил новую ${displaystyle p}$-адический метод в теории тригонометрических сумм.^[11] Оценки так называемых ${displaystyle L}$-суммы формы

${displaystyle S=sum _{x=1}^{P}e^{2pi i(a_{1}x/p^{n}+dots a_{n}x^{n}/p)},quad (a_{s},p)=1,quad 1leq sleq n,}$

вел^[12] к новым оценкам нулей Дирихле ${displaystyle L}$-серии по модулю степени простого числа, к асимптотической формуле для числа сравнения Варинга вида

${displaystyle x_{1}^{n}+dots +x_{t}^{n}equiv N{pmod {p^{k}}},quad 1leq x_{s}leq P,quad 1leq sleq n,quad P<p^{k},}$

к решению задачи о распределении дробных частей многочлена с целыми коэффициентами по модулю ${displaystyle p^{k}}$. А.А. Карацуба первым осознал^[13] в ${displaystyle p}$-адической формы «принцип вложения» Эйлера-Виноградова и для вычисления ${displaystyle p}$-адический аналог Виноградова ${displaystyle u}$-числа при оценке числа решений сравнения типа Варинга.

Предположить, что : ${displaystyle x_{1}^{n}+dots +x_{t}^{n}equiv N{pmod {Q}},quad 1leq x_{s}leq P,quad 1leq sleq t,quad (1)}$ и более того : ${displaystyle P^{r}leq Q<P^{r+1},quad 1leq rleq {frac {1}{12}}{sqrt {n}},quad Q=p^{k},quad kgeq 4(r+1)n,}$

куда ${displaystyle p}$ - простое число. Карацуба доказал, что в этом случае для любого натурального числа ${displaystyle ngeq 144}$ существует ${displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$ такой, что для любого ${displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$ каждое натуральное число ${displaystyle N}$ можно представить в виде (1) для ${displaystyle tgeq 20r+1}$, и для ${displaystyle t<r}$ существуют ${displaystyle N}$ такое, что сравнение (1) не имеет решений.

Этот новый подход, обнаруженный Карацубой, привел к новому ${displaystyle p}$-адическое доказательство Виноградов теорема о среднем значении, играющая центральную роль в методе тригонометрических сумм Виноградова.

Еще один компонент ${displaystyle p}$-адический метод А.А. Карацуба - это переход от неполных систем уравнений к полным за счет локальных ${displaystyle p}$-адическая замена неизвестных.^[14]

Позволять ${displaystyle r}$ - произвольное натуральное число, ${displaystyle 1leq rleq n}$. Определить целое число ${displaystyle t}$ неравенством ${displaystyle m_{t}leq rleq m_{t+1}}$. Рассмотрим систему уравнений

${displaystyle {egin{cases}x_{1}^{m_{1}}+dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+dots +y_{k}^{m_{1}}dots dots dots dots dots dots dots dots x_{1}^{m_{s}}+dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+dots +y_{k}^{m_{s}}x_{1}^{n}+dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+dots +y_{k}^{n}end{cases}}}$

${displaystyle 1leq x_{1},dots ,x_{k},y_{1},dots ,y_{k}leq P,quad 1leq m_{1}<m_{2}<dots <m_{s}<m_{s+1}=n.}$

Карацуба доказал, что количество решений ${displaystyle I_{k}}$ этой системы уравнений для ${displaystyle kgeq 6rnlog n}$ удовлетворяет оценке

${displaystyle I_{k}ll P^{2k-delta },quad delta =m_{1}+dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

Для неполных систем уравнений, в которых переменные пробегают числа с малыми простыми делителями, Карацуба применил мультипликативный перенос переменных. Это привело к принципиально новой оценке тригонометрических сумм и новой теореме о среднем значении для таких систем уравнений.

Проблема Хуа Луогена о показателе сходимости сингулярного интеграла в проблеме Терри

${displaystyle p}$-адический метод А.А. Карацубы включает в себя методы оценки меры множества точек с малыми значениями функций в терминах значений их параметров (коэффициентов и т. д.) и, наоборот, методы оценки этих параметров в терминах мера этого набора в реальном и ${displaystyle p}$-адические метрики. Эта сторона метода Карацубы особенно ярко проявилась при оценивании тригонометрических интегралов, что привело к решению проблемы Хуа Луогэн. В 1979 году Карацуба вместе со своими учениками Г.И. Архипов, В. Чубариков получил полное решение^[15] задачи Хуа Луогена нахождения показателя сходимости интеграла:

${displaystyle vartheta _{0}=int limits _{-infty }^{+infty }cdots int limits _{-infty }^{+infty }{iggl |}int limits _{0}^{1}e^{2pi i(alpha _{n}x^{n}+cdots +alpha _{1}x)}dx{iggr |}^{2k}dalpha _{n}ldots dalpha _{1},}$

куда ${displaystyle ngeq 2}$ фиксированное число.

В данном случае показатель сходимости означает значение ${displaystyle gamma }$, так что ${displaystyle vartheta _{0}}$ сходится для ${displaystyle 2k>gamma +varepsilon }$ и расходится на ${displaystyle 2k<gamma -varepsilon }$, куда ${displaystyle varepsilon >0}$ произвольно мала. Было показано, что интеграл ${displaystyle vartheta _{0}}$ сходится для ${displaystyle 2k>{ frac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$ и расходится на ${displaystyle 2kleq { frac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$.

При этом была решена аналогичная задача для интеграла: ${displaystyle vartheta _{1}=int _{-infty }^{+infty }cdots int _{-infty }^{+infty }{iggl |}int _{0}^{1}e^{2pi i(alpha _{n}x^{n}+alpha _{m}x^{m}+cdots +alpha _{r}x^{r})}dx{iggr |}^{2k}dalpha _{n}dalpha _{m}ldots dalpha _{r},}$ куда ${displaystyle n,m,ldots ,r}$ целые числа, удовлетворяющие условиям: ${displaystyle 1leq r<ldots <m<n,quad r+ldots +m+n<{ frac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Карацуба и его ученики доказали, что интегральная ${displaystyle vartheta _{1}}$ сходится, если ${displaystyle 2k>n+m+ldots +r}$ и расходится, если ${displaystyle 2kleq n+m+ldots +r}$.

Интегралы ${displaystyle vartheta _{0}}$ и ${displaystyle vartheta _{1}}$ возникают при изучении так называемых Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта. Карацуба и его ученики получили ряд новых результатов, связанных с многомерным аналогом проблемы Тарри. В частности, они доказали, что если ${displaystyle F}$ является многочленом от ${displaystyle r}$ переменные (${displaystyle rgeq 2}$) формы:${displaystyle F(x_{1},ldots ,x_{r}),=,sum limits _{u _{1}=0}^{n_{1}}cdots sum limits _{u _{r}=0}^{n_{r}}alpha (u _{1},ldots ,u _{r})x_{1}^{u _{1}}ldots x_{r}^{u _{r}},}$ с нулевым бесплатным сроком, ${displaystyle m=(n_{1}+1)ldots (n_{r}+1)-1}$, ${displaystyle {ar {alpha }}}$ это ${displaystyle m}$-мерный вектор, состоящий из коэффициентов ${displaystyle F}$, то интеграл: ${displaystyle vartheta _{2}=int limits _{-infty }^{+infty }cdots int limits _{-infty }^{+infty }{iggl |}int limits _{0}^{1}cdots int limits _{0}^{1}e^{2pi iF(x_{1},ldots ,x_{r})}dx_{1}ldots dx_{r}{iggr |}^{2k}d{ar {alpha }}}$ сходится для ${displaystyle 2k>mn}$, куда ${displaystyle n}$ это наивысшее из чисел ${displaystyle n_{1},ldots ,n_{r}}$. Этот результат, не являясь окончательным, породил новое направление в теории тригонометрических интегралов, связанное с улучшением оценок показателя сходимости ${displaystyle vartheta _{2}}$ (И. А. Икромов, М. А. Чахкиев и др.).

Кратные тригонометрические суммы

В 1966—1980 гг. Карацуба развивал^[16][17] (с участием его учеников Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова) теория множественных Герман Вейль тригонометрические суммы, то есть суммы вида

${displaystyle S=S(A)=sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}dots sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2pi iF(x_{1},dots ,x_{r})}}$ , куда ${displaystyle F(x_{1},dots ,x_{r})=sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}dots sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}alpha (t_{1},dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}dots x_{r}^{t_{r}}}$ ,

${displaystyle A}$ это система действительных коэффициентов ${displaystyle alpha (t_{1},dots ,t_{r})}$. Центральным пунктом этой теории, как и теории тригонометрических сумм Виноградова, является следующее теорема о среднем значении.

Позволять ${displaystyle n_{1},dots ,n_{r},P_{1},dots ,P_{r}}$ быть натуральными числами, ${displaystyle P_{1}=min(P_{1},dots ,P_{r})}$,${displaystyle m=(n_{1}+1)dots (n_{r}+1)}$. Кроме того, пусть ${displaystyle Omega }$ быть ${displaystyle m}$-мерный куб вида: ${displaystyle 0leq alpha (t_{1},dots ,t_{r})<1}$ , ${displaystyle 0leq t_{1}leq n_{1},dots ,0leq t_{r}leq n_{r}}$, в евклидовом пространстве: и :: ${displaystyle J=J(P_{1},dots ,P_{r};n_{1},dots ,n_{r};K,r)={underset {Omega }{int dots int }}|S(A)|^{2K}dA}$ . : Тогда для любого ${displaystyle au geq 0}$ и ${displaystyle Kgeq K_{ au }=m au }$ Значение ${displaystyle J}$ можно оценить следующим образом

${displaystyle Jleq K_{ au }^{2m au }varkappa ^{4varkappa ^{2}Delta ( au )}2^{8mvarkappa au }(P_{1}dots P_{r})^{2K}P^{-varkappa Delta ( au )}}$ , :

куда ${displaystyle varkappa =n_{1}u _{1}+dots +n_{r}u _{r}}$ , ${displaystyle gamma varkappa =1}$, ${displaystyle Delta ( au )={frac {m}{2}}(1-(1-gamma )^{ au })}$ , ${displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}dots P_{r}^{n_{r}})^{gamma }}$, а натуральные числа ${displaystyle u _{1},dots ,u _{r}}$ таковы, что: :: ${displaystyle -1<{frac {P_{s}}{P_{1}}}-u _{s}leq 0}$ , ${displaystyle s=1,dots ,r}$ .

Теорема о среднем значении и лемма о кратности пересечения многомерных параллелепипедов составляют основу оценки кратной тригонометрической суммы, полученной Карацубой (двумерный случай получен Г.И. Архиповым.^[18]). Обозначается ${displaystyle Q_{0}}$ наименьшее общее кратное чисел ${displaystyle q(t_{1},dots ,t_{r})}$ с условием ${displaystyle t_{1}+dots t_{r}geq 1}$, за ${displaystyle Q_{0}geq P^{1/6}}$ оценка верна

${displaystyle |S(A)|leq (5n^{2n})^{ru (Q_{0})}( au (Q_{0}))^{r-1}P_{1}dots P_{r}Q^{-0.1mu }+2^{8r}(rmu ^{-1})^{r-1}P_{1}dots P_{r}P^{-0.05mu }}$ ,

куда ${displaystyle au (Q)}$ - количество делителей целого числа ${displaystyle Q}$, и ${displaystyle u (Q)}$ - количество различных простых делителей числа ${displaystyle Q}$.

Оценка функции Харди в задаче Варинга

Применяя его ${displaystyle p}$-адическая форма метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова для оценки тригонометрических сумм, в котором суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Карацуба получил^[19] новая оценка хорошо известного Харди функция ${displaystyle G(n)}$ в Проблема Варинга (за ${displaystyle ngeq 400}$):

${displaystyle !G(n)<2nlog n+2nlog log n+12n.}$

Многомерный аналог проблемы Варинга.

В своем последующем исследовании проблемы Варинга Карацуба получил^[20] следующее двумерное обобщение этой проблемы:

Рассмотрим систему уравнений

${displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ , ${displaystyle i=0,1,dots ,n}$ ,

куда ${displaystyle N_{i}}$ заданы натуральные числа того же порядка или роста, ${displaystyle N_{0} o +infty }$, и ${displaystyle x_{varkappa },y_{varkappa }}$ неизвестные, которые также являются положительными целыми числами. У этой системы есть решения, если ${displaystyle k>cn^{2}log n}$ , и если ${displaystyle k<c_{1}n^{2}}$, то существуют такие ${displaystyle N_{i}}$, что у системы нет решений.

Проблема Артина о локальном представлении нуля формой

Эмиль Артин поставил проблему на ${displaystyle p}$-адическое представление нуля формой произвольной степени d. Артин первоначально предположил результат, который теперь можно было бы описать как p-адическое поле быть C₂ поле; другими словами, нетривиальное представление нуля произошло бы, если бы количество переменных было не менее d². Это не так на примере Гай Терджанян. Карацуба показал, что для того, чтобы иметь нетривиальное представление нуля формой, число переменных должно расти быстрее, чем полиномиально, по степени d; это число фактически должно иметь почти экспоненциальный рост, в зависимости от степени. Карацуба и его ученик Архипов доказали, что^[21] что для любого натурального числа ${displaystyle r}$ Существует ${displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$, что для любого ${displaystyle ngeq n_{0}}$ есть форма с целыми коэффициентами ${displaystyle F(x_{1},dots ,x_{k})}$ степени меньше, чем ${displaystyle n}$, количество переменных которых равно ${displaystyle k}$, ${displaystyle kgeq 2^{u}}$,

${displaystyle u={frac {n}{(log _{2}n)(log _{2}log _{2}n)dots underbrace {(log _{2}dots log _{2}n)} _{r}underbrace {(log _{2}dots log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

который имеет лишь тривиальное представление нуля в 2-адических числах. Они также получили аналогичный результат для любого нечетного простого модуля ${displaystyle p}$.

Оценки коротких сумм Клоостермана

Карацуба разработала^[22][23][24] (1993—1999) новый метод оценки короткихСуммы Клоостермана, то есть тригонометрические суммы вида

${displaystyle sum limits _{nin A}exp {{iggl (}2pi i,{frac {an^{*}+bn}{m}}{iggr )}},}$

куда ${displaystyle n}$ проходит через множество ${displaystyle A}$ чисел, взаимно простых с ${displaystyle m}$, количество элементов ${displaystyle |A|}$ в котором существенно меньше, чем ${displaystyle m}$, а символ ${displaystyle n^{*}}$ обозначает класс конгруэнции, обратный к ${displaystyle n}$ по модулю ${displaystyle m}$: ${displaystyle nn^{*}equiv 1(mod m)}$.

До начала 90-х годов прошлого века оценки такого типа были известны в основном для сумм, в которых число слагаемых было больше, чем ${displaystyle {sqrt {m}}}$ (Х. Д. Клоостерман, Виноградов И. М., Х. Салье, Л. Карлитц, С. Учияма, А. Вайль ). Единственным исключением были специальные модули вида ${displaystyle m=p^{alpha }}$, куда ${displaystyle p}$ фиксированное простое число, а показатель степени ${displaystyle alpha }$ возрастает до бесконечности (этот случай исследовал Постников А.Г. методом Виноградова). Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, в которых количество слагаемых не превышает

${displaystyle m^{varepsilon },}$

а в некоторых случаях даже

${displaystyle exp {{(ln m)^{2/3+varepsilon }}},}$

куда ${displaystyle varepsilon >0}$ - сколь угодно малое фиксированное число. Заключительный доклад Карацубы на эту тему^[25] был опубликован посмертно.

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение в следующих задачах аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида: ${displaystyle {sum _{nleq x}}'{iggl {}{frac {an^{*}+bn}{m}}{iggr }},{sum _{pleq x}}'{iggl {}{frac {ap^{*}+bp}{m}}{iggr }},}$ : куда ${displaystyle n}$ проходит один за другим целые числа, удовлетворяющие условию ${displaystyle (n,m)=1}$, и ${displaystyle p}$ пробегает простые числа, не делящие модуль ${displaystyle m}$ (Карацуба);

• оценка снизу числа решений неравенств вида: ${displaystyle alpha <{iggl {}{frac {an^{*}+bn}{m}}{iggr }}leq eta }$ : в целых числах ${displaystyle n}$, ${displaystyle 1leq nleq x}$, взаимно проста с ${displaystyle m}$, ${displaystyle x<{sqrt {m}}}$ (Карацуба);

• точность приближения произвольного действительного числа в отрезке ${displaystyle [0,1]}$ по дробным частям формы:

${displaystyle {iggl {}{frac {an^{*}+bn}{m}}{iggr }},}$ : куда ${displaystyle 1leq nleq x}$, ${displaystyle (n,m)=1}$, ${displaystyle x<{sqrt {m}}}$ (Карацуба);

• более точная константа ${displaystyle c}$ в Теорема Бруна – Титчмарша.  :

${displaystyle pi (x;q,l)<{frac {cx}{varphi (q)ln {frac {2x}{q}}}},}$ : куда ${displaystyle pi (x;q,l)}$ это количество простых чисел ${displaystyle p}$, не превышающий ${displaystyle x}$ и принадлежащие арифметической прогрессии ${displaystyle pequiv l{pmod {q}}}$ (Дж. Фридлендер, Х. Иванец );

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида:

${displaystyle n^{3}+2}$, ${displaystyle N<nleq 2N}$ (Д. Р. Хит-Браун );

• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида:

${displaystyle a^{2}+b^{4}}$ (Дж. Фридлендер, Х. Иванец );

• комбинаторные свойства множества чисел:

${displaystyle n^{*}{pmod {m}}}$${displaystyle 1leq nleq m^{varepsilon }}$ (А. А. Глибичук).

Дзета-функция Римана

Зеро Сельберга

В 1984 году Карацуба доказал, что^[26][27] что для фиксированного ${displaystyle varepsilon }$ удовлетворяющий условию${displaystyle 0<varepsilon <0.001}$, достаточно большой ${displaystyle T}$ и ${displaystyle H=T^{a+varepsilon }}$, ${displaystyle a={ frac {27}{82}}={ frac {1}{3}}-{ frac {1}{246}}}$, интервал ${displaystyle (T,T+H)}$ содержит как минимум ${displaystyle cHln T}$ настоящие нули Дзета-функция Римана ${displaystyle zeta {Bigl (}{ frac {1}{2}}+it{Bigr )}}$.

Особый случай ${displaystyle Hgeq T^{1/2+varepsilon }}$ было доказано Атле Сельберг ранее в 1942 г.^[28] Оценки Атле Сельберг и Карацуба не может быть улучшена по порядку роста как ${displaystyle T o +infty }$.

Распределение нулей дзета-функции Римана на коротких отрезках критической прямой

Карацуба тоже получил ^[29] ряд результатов о распределении нулей ${displaystyle zeta (s)}$ на «коротких» интервалах критической линии. Он доказал, что аналог Гипотеза Сельберга выполняется для «почти всех» интервалов ${displaystyle (T,T+H]}$, ${displaystyle H=T^{varepsilon }}$, куда ${displaystyle varepsilon }$ - сколь угодно малое фиксированное положительное число. Карацуба разработал (1992) новый подход к исследованию нулей дзета-функции Римана на «сверхкоротких» интервалах критической прямой, то есть на интервалах ${displaystyle (T,T+H]}$, длина ${displaystyle H}$ из которых растет медленнее любого, даже в сколь угодно малой степени ${displaystyle T}$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ${displaystyle varepsilon }$, ${displaystyle varepsilon _{1}}$ удовлетворяющие условиям ${displaystyle 0<varepsilon ,varepsilon _{1}<1}$ почти все интервалы ${displaystyle (T,T+H]}$ за ${displaystyle Hgeq exp {{(ln T)^{varepsilon }}}}$ содержать как минимум ${displaystyle H(ln T)^{1-varepsilon _{1}}}$ нули функции ${displaystyle zeta {igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}}$. Эта оценка довольно близка к той, которая следует из Гипотеза Римана.

Нули линейных комбинаций L-ряда Дирихле

Карацуба разработал новый метод ^[30][31] исследования нулей функций, которые можно представить в виде линейных комбинаций Дирихле ${displaystyle L}$-серии. Простейшим примером функции этого типа является функция Давенпорта-Хейльбронна, определяемая равенством

${displaystyle f(s)={ frac {1}{2}}(1-ikappa )L(s,chi )+{ frac {1}{2}}(1,+,ikappa )L(s,{ar {chi }}),}$

куда ${displaystyle chi }$ неглавный характер по модулю ${displaystyle 5}$ (${displaystyle chi (1)=1}$, ${displaystyle chi (2)=i}$, ${displaystyle chi (3)=-i}$, ${displaystyle chi (4)=-1}$, ${displaystyle chi (5)=0}$, ${displaystyle chi (n+5)=chi (n)}$ для любого ${displaystyle n}$),

${displaystyle kappa ={frac {{sqrt {10-2{sqrt {5}}}}-2}{{sqrt {5}}-1}}.}$

За ${displaystyle f(s)}$ Гипотеза Римана неверно, однако критическая линия ${displaystyle Re s={ frac {1}{2}}}$ тем не менее обычно содержит много нулей.

Карацуба доказал (1989), что интервал ${displaystyle (T,T+H]}$, ${displaystyle H=T^{27/82+varepsilon }}$, содержит не менее

${displaystyle H(ln T)^{1/2}e^{-c{sqrt {ln ln T}}}}$

нули функции ${displaystyle f{igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}}$. Аналогичные результаты были получены Карацубой и для линейных комбинаций, содержащих произвольное (конечное) число слагаемых; показатель степени ${displaystyle { frac {1}{2}}}$ здесь заменяется меньшим числом ${displaystyle eta }$, который зависит только от вида линейной комбинации.

Граница нулей дзета-функции и многомерная задача дивизоров Дирихле

Карацубе принадлежит новый прорывной результат ^[32] в многомерной задаче о дивизорах Дирихле, связанной с нахождением числа ${displaystyle D_{k}(x)}$ решений неравенства ${displaystyle x_{1}*ldots *x_{k}leq x}$ в натуральных числах ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{k}}$ в качестве ${displaystyle x o +infty }$. За ${displaystyle D_{k}(x)}$ существует асимптотическая формула вида

${displaystyle D_{k}(x)=xP_{k-1}(ln x)+R_{k}(x)}$ ,

куда ${displaystyle P_{k-1}(u)}$ является многочленом степени ${displaystyle (k-1)}$, коэффициенты которого зависят от ${displaystyle k}$ и можно найти явно и ${displaystyle R_{k}(x)}$ - остаточный член, все известные оценки которого (до 1960 г.) имели вид

${displaystyle |R_{k}(x)|leq x^{1-alpha (k)}(cln x)^{k}}$ ,

куда ${displaystyle alpha ={frac {1}{ak+b}}}$, ${displaystyle a,b,c}$ - некоторые абсолютные положительные константы.

Карацуба получил более точную оценку ${displaystyle R_{k}(x)}$, в котором значение ${displaystyle alpha (k)}$ был в порядке ${displaystyle k^{-2/3}}$ и уменьшалась намного медленнее, чем ${displaystyle alpha (k)}$ в предыдущих оценках. Оценка Карацубы едина в ${displaystyle x}$ и ${displaystyle k}$; в частности, значение ${displaystyle k}$ может расти как ${displaystyle x}$ растет (как некоторая степень логарифма ${displaystyle x}$). (Похожий, но более слабый результат был получен в 1960 году немецким математиком Рихертом, работа которого оставалась неизвестной советским математикам по крайней мере до середины семидесятых.)

Доказательство оценки ${displaystyle R_{k}(x)}$ основана на серии утверждений, по существу эквивалентных теореме о границе нулей дзета-функции Римана, полученной методом Виноградова, то есть теореме о том, что ${displaystyle zeta (s)}$ не имеет нулей в регионе

${displaystyle Re sgeq 1-{frac {c}{(ln |t|)^{2/3}(ln ln |t|)^{1/3}}},quad |t|>10}$ .

Карацуба найден ^[33](2000) обратная связь оценок значений ${displaystyle R_{k}(x)}$ с поведением${displaystyle zeta (s)}$ возле линии ${displaystyle Re s=1}$. В частности, он доказал, что если ${displaystyle alpha (y)}$ - произвольная невозрастающая функция, удовлетворяющая условию ${displaystyle 1/yleq alpha (y)leq 1/2}$, так что для всех ${displaystyle kgeq 2}$ оценка

${displaystyle |R_{k}(x)|leq x^{1-alpha (k)}(cln x)^{k}}$

держит, то ${displaystyle zeta (s)}$ не имеет нулей в регионе

${displaystyle Re sgeq 1-c_{1},{frac {alpha (ln |t|)}{ln ln |t|}},quad |t|geq e^{2}}$

(${displaystyle c,c_{1}}$ - некоторые абсолютные константы).

Оценки снизу максимума модуля дзета-функции в малых областях критической области и на малых участках критической линии

Карацуба представил и изучил ^[34] функции ${displaystyle F(T;H)}$ и ${displaystyle G(s_{0};Delta )}$, определяемый равенствами

${displaystyle F(T;H)=max _{|t-T|leq H}{igl |}zeta {igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}{igr |},quad G(s_{0};Delta )=max _{|s-s_{0}|leq Delta }|zeta (s)|.}$

Здесь ${displaystyle T}$ - достаточно большое положительное число, ${displaystyle 0<Hll ln ln T}$, ${displaystyle s_{0}=sigma _{0}+iT}$, ${displaystyle { frac {1}{2}}leq sigma _{0}leq 1}$, ${displaystyle 0<Delta <{ frac {1}{3}}}$. Оценка ценностей ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G}$ снизу показано, насколько велики (по модулю) значения ${displaystyle zeta (s)}$ может занимать короткие интервалы критической прямой или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе ${displaystyle 0leq Re sleq 1}$. Дело ${displaystyle Hgg ln ln T}$ ранее изучался Рамачандрой; дело ${displaystyle Delta >c}$, куда ${displaystyle c}$ является достаточно большой постоянной, тривиально.

Карацуба, в частности, доказал, что если значения ${displaystyle H}$ и ${displaystyle Delta }$ превышают некоторые достаточно малые постоянные, то оценки

${displaystyle F(T;H)geq T^{-c_{1}},quad G(s_{0};Delta )geq T^{-c_{2}},}$

держи, где ${displaystyle c_{1},c_{2}}$ - некие абсолютные константы.

Поведение аргумента дзета-функции на критической прямой

Карацуба получил ряд новых результатов^[35][36] связанных с поведением функции ${displaystyle S(t)={frac {1}{pi }}arg {zeta {igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}}}$, который называется аргументом Дзета-функция Римана на критической линии (здесь ${displaystyle arg {zeta {igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}}}$ является приращением произвольной непрерывной ветви ${displaystyle arg zeta (s)}$ по пунктирной линии, соединяющей точки ${displaystyle 2,2+it}$ и ${displaystyle { frac {1}{2}}+it}$). Среди этих результатов - теоремы о среднем значении для функции ${displaystyle S(t)}$ и его первый интеграл ${displaystyle S_{1}(t)=int _{0}^{t}S(u)du}$ на отрезках вещественной прямой, а также теорему о том, что каждый отрезок ${displaystyle (T,T+H]}$ за ${displaystyle Hgeq T^{27/82+varepsilon }}$ содержит как минимум

${displaystyle H(ln T)^{1/3}e^{-c{sqrt {ln ln T}}}}$

точки, где функция ${displaystyle S(t)}$ меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельберг для случая${displaystyle Hgeq T^{1/2+varepsilon }}$.

Персонажи Дирихле

Оценки коротких сумм характеров в конечных полях

В конце шестидесятых Карацуба, оценивая короткие суммы в Персонажи Дирихле, развитый ^[37] новый метод, позволяющий получать нетривиальные оценки коротких сумм характеров в конечные поля. Позволять${displaystyle ngeq 2}$ быть фиксированным целым числом, ${displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ldots +a_{1}x+a_{0}}$ полином, неприводимый над полем ${displaystyle mathbb {Q} }$ рациональных чисел, ${displaystyle heta }$ корень уравнения ${displaystyle F( heta )=0}$, ${displaystyle mathbb {Q} ( heta )}$ соответствующее расширение поля ${displaystyle mathbb {Q} }$, ${displaystyle omega _{1},ldots ,omega _{n}}$ основа ${displaystyle mathbb {Q} ( heta )}$, ${displaystyle omega _{1}=1}$, ${displaystyle omega _{2}= heta }$, ${displaystyle omega _{3}= heta ^{2},ldots ,omega _{n}= heta ^{n-1}}$. Кроме того, пусть ${displaystyle p}$ - достаточно большое простое число, такое что ${displaystyle F(x)}$ неприводимо по модулю ${displaystyle p}$,${displaystyle mathrm {GF} (p^{n})}$ то Поле Галуа с основой ${displaystyle omega _{1},omega _{2},ldots ,omega _{n}}$, ${displaystyle chi }$ неосновной Dirichlet персонаж поля ${displaystyle mathrm {GF} (p^{n})}$. Наконец, пусть ${displaystyle u _{1},ldots ,u _{n}}$ быть некоторыми неотрицательными целыми числами, ${displaystyle D(X)}$ набор элементов ${displaystyle {ar {x}}}$ поля Галуа ${displaystyle mathrm {GF} (p^{n})}$,

${displaystyle {ar {x}}=x_{1}omega _{1}+ldots +x_{n}omega _{n}}$ ,

такой, что для любого ${displaystyle i}$, ${displaystyle 1leq ileq n}$, выполняются следующие неравенства:

${displaystyle u _{i}<x_{i}<u _{i}+X}$ .

Карацуба доказал, что для любого фиксированного ${displaystyle k}$, ${displaystyle kgeq n+1}$, и произвольные ${displaystyle X}$ удовлетворяющий условию

${displaystyle p^{{frac {1}{4}}+{frac {1}{4k}}}leq Xleq p^{{frac {1}{2}}+{frac {1}{4k}}}}$

справедлива следующая оценка:

${displaystyle {iggl |}sum limits _{{ar {x}}in D(X)}chi ({ar {x}}){iggr |}leq c{Bigl (}X^{1-{frac {1}{k}}}p^{{frac {1}{4k}}+{frac {1}{4k^{2}}}}{Bigr )}^{!!n}(ln p)^{gamma },}$

куда ${displaystyle gamma ={frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)}$, а постоянная ${displaystyle c}$ зависит только от ${displaystyle n}$ и основа ${displaystyle omega _{1},ldots ,omega _{n}}$.

Оценки линейных сумм символов по сдвинутым простым числам

Карацуба разработал ряд новых инструментов, которые в сочетании с методом Виноградова оценивания сумм с простыми числами позволили ему в 1970 г. ^[38] оценка суммы значений неглавного характера по простому модулю ${displaystyle q}$ на последовательности сдвинутых простых чисел, а именно оценку вида

${displaystyle {iggl |}sum limits _{pleq N}chi (p+k){iggr |}leq cNq^{-{frac {varepsilon ^{2}}{1024}}},}$

куда ${displaystyle k}$ целое число, удовлетворяющее условию ${displaystyle kot equiv 0(mod q)}$, ${displaystyle varepsilon }$ сколь угодно малое фиксированное число, ${displaystyle Ngeq q^{1/2+varepsilon }}$, а постоянная ${displaystyle c}$ зависит от ${displaystyle varepsilon }$ Только.

Это утверждение значительно сильнее оценки Виноградова, нетривиальной для ${displaystyle Ngeq q^{3/4+varepsilon }}$.

В 1971 г., выступая на Международной конференции по теории чисел по случаю 80-летия со дня рождения А. Иван Матвеевич Виноградов, Академик Юрий Линник отметил следующее:

«Большое значение имеют исследования, проведенные Виноградовым в области асимптотики Dirichlet персонаж на сдвинутых простых числах ${displaystyle sum limits _{pleq N}chi (p+k)}$, которые дают меньшую мощность по сравнению с ${displaystyle N}$ в сравнении с ${displaystyle Ngeq q^{3/4+varepsilon }}$,${displaystyle varepsilon >0}$, куда ${displaystyle q}$ это модуль характера. Эта оценка имеет решающее значение, поскольку она настолько глубока, что дает больше, чем расширенный Гипотеза Римана, и, похоже, в этом направлении это более глубокий факт, чем эта гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эту оценку улучшил А.А. Карацуба ».

Этот результат был распространен Карацубой на случай, когда ${displaystyle p}$ проходит через простые числа в арифметической прогрессии, приращение которой растет с модулем${displaystyle q}$.

Оценки сумм характеров многочленов с простым аргументом

Карацуба найден ^[37][39] ряд оценок сумм характеров Дирихле в многочленах второй степени для случая, когда аргумент многочлена пробегает короткую последовательность последующих простых чисел. Пусть, например, ${displaystyle q}$ быть достаточно большим простым числом, ${displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)}$, куда ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ целые числа, удовлетворяющие условию ${displaystyle ab(a-b)ot equiv 0(mod q)}$, и разреши ${displaystyle left({frac {n}{q}}ight)}$ обозначить Символ Лежандра, то для любого фиксированного ${displaystyle varepsilon }$ с условием ${displaystyle 0<varepsilon <{ frac {1}{2}}}$ и ${displaystyle N>q^{3/4+varepsilon }}$ на сумму ${displaystyle S_{N}}$,

${displaystyle S_{N}=sum limits _{pleq N}{iggl (}{frac {f(p)}{q}}{iggr )},}$

справедлива следующая оценка:

${displaystyle |S_{N}|leq cpi (N)q^{-{frac {varepsilon ^{2}}{100}}}}$

(здесь ${displaystyle p}$ проходит через последующие простые числа, ${displaystyle pi (N)}$ количество простых чисел, не превышающих ${displaystyle N}$, и ${displaystyle c}$ константа, зависящая от ${displaystyle varepsilon }$ Только).

Аналогичная оценка была получена Карацубой и для случая, когда ${displaystyle p}$ проходит через последовательность простых чисел в арифметической прогрессии, приращение которой может расти вместе с модулем ${displaystyle q}$.

Карацуба предположил, что нетривиальная оценка суммы ${displaystyle S_{N}}$ за ${displaystyle N}$, которые "маленькие" по сравнению с ${displaystyle q}$, остается верным в случае, когда ${displaystyle f(x)}$ заменяется произвольным многочленом степени ${displaystyle n}$, который не является квадратом по модулю ${displaystyle q}$. Это предположение остается открытым.

Оценки снизу сумм характеров многочленов

Карацуба построена ^[40] бесконечная последовательность простых чисел ${displaystyle p}$ и последовательность многочленов ${displaystyle f(x)}$ степени ${displaystyle n}$ с целыми коэффициентами, такими, что ${displaystyle f(x)}$ не является полным квадратом по модулю ${displaystyle p}$,

${displaystyle {frac {4(p-1)}{ln p}}leq nleq {frac {8(p-1)}{ln p}},}$

и такой, что

${displaystyle sum limits _{x=1}^{p}left({frac {f(x)}{p}}ight)=p.}$

Другими словами, для любого ${displaystyle x}$ Значение ${displaystyle f(x)}$ оказывается квадратичным вычетом по модулю ${displaystyle p}$. Этот результат показывает, что Андре Вайль оценка

${displaystyle {iggl |}sum limits _{x=1}^{p}left({frac {f(x)}{p}}ight){iggr |}leq (n-1){sqrt {p}}}$

не может быть существенно улучшена, и правая часть последнего неравенства не может быть заменена, скажем, значением ${displaystyle C{sqrt {n}}{sqrt {p}}}$, куда ${displaystyle C}$ является абсолютной константой.

Суммы символов в аддитивных последовательностях

Карацуба нашел новый метод,^[41] позволяющий получать достаточно точные оценки сумм значений неглавных характеров Дирихле на аддитивных последовательностях, т. е. на последовательностях, состоящих из чисел вида ${displaystyle x+y}$, где переменные ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ проходит через некоторые наборы${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ независимо друг от друга. Наиболее характерным примером такого рода является следующее утверждение, которое применяется при решении широкого класса задач, связанных с суммированием значений символов Дирихле. Позволять ${displaystyle varepsilon }$ - произвольно малое фиксированное число, ${displaystyle 0<varepsilon <{ frac {1}{2}}}$, ${displaystyle q}$ достаточно большое простое число, ${displaystyle chi }$ неглавный символ по модулю ${displaystyle q}$. Кроме того, пусть ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ - произвольные подмножества полной системы классов конгруэнции по модулю ${displaystyle q}$, удовлетворяющая только условиям ${displaystyle |A|>q^{varepsilon }}$, ${displaystyle |B|>q^{1/2+varepsilon }}$. Тогда справедлива следующая оценка:

${displaystyle {iggl |}sum limits _{xin A}sum limits _{yin B}chi (x+y){iggr |}leq c|A|cdot |B|q^{-{frac {varepsilon ^{2}}{20}}},quad c=c(varepsilon )>0.}$

Метод Карацубы позволяет получать нетривиальные оценки такого рода и в некоторых других случаях, когда условия для множеств ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$, сформулированные выше, заменяются другими, например: ${displaystyle |A|>q^{varepsilon }}$, ${displaystyle {sqrt {|A|}}cdot |B|>q^{1/2+varepsilon }.}$

В случае, когда ${displaystyle A}$ и ${displaystyle B}$ - множества простых чисел в интервалах ${displaystyle (1,X]}$, ${displaystyle (1,Y]}$ соответственно, где ${displaystyle Xgeq q^{1/4+varepsilon }}$, ${displaystyle Ygeq q^{1/4+varepsilon }}$, оценка вида

${displaystyle {iggl |}sum limits _{pleq X}sum limits _{p'leq Y}chi (p+p'){iggr |}leq cpi (X)pi (Y)q^{-c_{1}varepsilon ^{2}},}$

держит, где ${displaystyle pi (Z)}$ это количество простых чисел, не превышающее ${displaystyle Z}$, ${displaystyle c=c(varepsilon )>0}$, и ${displaystyle c_{1}}$ - некоторая абсолютная константа.

Распределение классов степенной конгруэнтности и первообразных корней в разреженных последовательностях

Карацуба получил^[42] (2000) нетривиальные оценки сумм значений характеров Дирихле «с весами», т. Е. Сумм компонент вида ${displaystyle chi (n)f(n)}$, куда ${displaystyle f(n)}$ является функцией естественного аргумента. Подобные оценки применяются при решении широкого класса задач теории чисел, связанных с распределением классов степенной конгруэнции, а также первообразных корней в определенных последовательностях.

Позволять ${displaystyle kgeq 2}$ быть целым числом, ${displaystyle q}$ достаточно большое простое число, ${displaystyle (a,q)=1}$, ${displaystyle |a|leq {sqrt {q}}}$, ${displaystyle Ngeq q^{{frac {1}{2}}-{frac {1}{2(k+1)}}+varepsilon }}$, куда ${displaystyle 0<varepsilon <min {{0.01,{ frac {2}{3(k+1)}}}}}$, и установите, наконец,

${displaystyle D_{k}(x)=sum limits _{x_{1}*ldots *x_{k}leq x}1=sum limits _{nleq x} au _{k}(n)}$

(для асимптотического выражения для ${displaystyle D_{k}(x)}$(см. выше, в разделе о многомерной задаче о дивизорах Дирихле). На суммы ${displaystyle V_{1}(x)}$ и ${displaystyle V_{2}(x)}$ ценностей ${displaystyle au _{k}(n)}$, расширенный на значения ${displaystyle nleq x}$, для которых числа ${displaystyle (n+a)}$ являются квадратичными вычетами (соответственно невычетами) по модулю ${displaystyle q}$, Карацуба получил асимптотические формулы вида

${displaystyle V_{1}(x)={ frac {1}{2}}D_{k}(x)+O{igl (}xq^{-0.01varepsilon ^{2}}{igr )},quad V_{2}(x)={ frac {1}{2}}D_{k}(x)+O{igl (}xq^{-0.01varepsilon ^{2}}{igr )}}$ .

Аналогично для суммы ${displaystyle V(x)}$ ценностей ${displaystyle au _{k}(n)}$, взял на себя все ${displaystyle nleq x}$, для которого ${displaystyle (n+a)}$ примитивный корень по модулю ${displaystyle q}$, получаем асимптотическое выражение вида

${displaystyle V(x)=left(1-{frac {1}{p_{1}}}ight)ldots left(1-{frac {1}{p_{s}}}ight)D_{k}(x)+O{igl (}xq^{-0.01varepsilon ^{2}}{igr )}}$ ,

куда ${displaystyle p_{1},ldots ,p_{s}}$ все простые делители числа ${displaystyle q-1}$.

Карацуба применил свой метод также к проблемам распределения степенных остатков (невычетов) в последовательностях сдвинутых простых чисел. ${displaystyle p+a}$, целых чисел типа ${displaystyle x^{2}+y^{2}+a}$ и некоторые другие.

Работы его более поздних лет

В более поздние годы, помимо исследований в области теории чисел (см. Феномен Карацубы,^[43] Карацуба изучал некоторые проблемы теоретическая физика, в частности в области квантовая теория поля. Применяя его Теорема ATS и некоторые другие теоретико-числовые подходы, он получил новые результаты^[44] в Модель Джейнса – Каммингса в квантовая оптика.

Личная жизнь

В Крыму

Всю свою жизнь Карацуба увлекался многими видами спорта: в молодые годы легкой атлетикой, тяжелой атлетикой и борьбой, затем пешим туризмом, скалолазанием, спелеологией и альпинизмом.^{[нужна цитата ]}

На памире

Четыре раза он поднялся Гора Эльбрус. Он путешествовал по горам Кавказ, Памирские горы и, особенно в последние годы жизни, Тянь-Шань в Заилийский Алатау и Тескей Ала-Тоо. Он любил классическую музыку и очень хорошо ее знал, особенно Иоганн Себастьян Бах и Антонио Вивальди.

Смотрите также

• Теорема ATS
• Алгоритм Карацубы
• Машина Мура

Рекомендации

1. http://iopscience.iop.org/1064-5632/72/6/E01/pdf/1064-5632_72_6_E01.pdf
2. Российский математический обзор 1998 г. 53 419 http://iopscience.iop.org/0036-0279/53/2/M21
3. Д. Кнут, TAOCP т. II, сек. 4.3.3
4. Список исследовательских работ, Анатолий Карацуба, Математический институт им. В. А. Стеклова (доступ в марте 2012 г.).
5. Мур, Э. Ф. (1956). «Геданкен-эксперименты на последовательных машинах». В С. Э. Шеннон; Дж. Маккарти (ред.). Исследования автоматов. Летопись математических исследований. 34. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 129–153.
6. Карацуба, А.А. (1960). «Решение одной задачи из теории конечных автоматов». Усп. Мат. Наук (15:3): 157–159.
7. Карацуба, А.А. (1975). Принципы аналитической теории чисел. Москва: Наука.
8. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. (1987). Теория кратных тригонометрических сумм. Москва: Наука.
9. Карацуба А.А., Воронин С.М. (1994). Дзета-функция Римана. Москва: Физ. Мат. Лит. ISBN  3110131706.
10. Карацуба, А. А. (1995). Комплексный анализ в теории чисел. Лондон, Токио: C.R.C. ISBN  0849328667.
11. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. (1997). «О математических трудах профессора А.А.Карацубы». Труды Института Стеклова. Математика. (218): 7–19.
12. Карацуба, А.А. (1961). «Оценки тригонометрических сумм специального вида и их приложения». Докл. Акад. АН СССР (137:3): 513–514.
13. Карацуба, А. А. (1962). «Задача Варинга для сравнения по модулю числа, равного по степени простому». Вестн. Моск. Univ. (1:4): 28–38.
14. Карацуба, А. А. (1965). «Об оценке числа решений некоторых уравнений». Докл. Акад. АН СССР (165:1): 31–32.
15. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. (1979). «Тригонометрические интегралы». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (43:5): 971–1003.
16. Карацуба, А.А. (1966). «Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (30:1): 183–206.
17. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. (1987). Теория кратных тригонометрических сумм. Москва: Наука.
18. Архипов, Г. (1975). «Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы». Математика. Примечания (17:1): 143–153.
19. Карацуба, А.А. (1985). «О функции G (n) в проблеме Варинга». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Математика. (49:5): 935–947.
20. Архипов Г.И., Карацуба А.А. (1987). «Многомерный аналог проблемы Варинга». Докл. Акад. АН СССР (295:3): 521–523.
21. Архипов Г.И., Карацуба А.А. (1981). «О локальном представлении нуля формой». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (45:5): 948–961.
22. Карацуба, А. А. (1995). «Аналоги сумм Клоостерманса». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Математика. (59:5): 93–102.
23. Карацуба, А. А. (1997). «Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения». Татры Математика. Publ. (11): 89–120.
24. Карацуба, А.А. (1999). «Двойные суммы Клоостермана». Мат. Заметки (66:5): 682–687.
25. Карацуба, А.А. (2010). «Новые оценки коротких сумм Клоостермана». Мат. Заметки (88:3–4): 347–359.
26. Карацуба, А.А. (1984). «О нулях функции ζ (s) на коротких отрезках критической прямой». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (48:3): 569–584.
27. Карацуба, А. А. (1985). «О нулях дзета-функции Римана на критической прямой». Proc. Стеклова Математика. (167): 167–178.
28. Сельберг, А. (1942). «О нулях дзета-функции Римана». SHR. Norske Vid. Акад. Осло (10): 1–59.
29. Карацуба, А. А. (1992). «О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих почти на всех коротких интервалах критической прямой». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. (56:2): 372–397.
30. Карацуба, А. А. (1990). «О нулях функции Давенпорта – Хейльбронна, лежащих на критической прямой». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (54:2): 303–315.
31. Карацуба, А. А. (1993). «О нулях арифметических рядов Дирихле без произведения Эйлера». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. (57:5): 3–14.
32. Карацуба, А. А. (1972). «Равномерная оценка остатка в задаче о дивизорах Дирихле». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (36:3): 475–483.
33. Карацуба, А. А. (2000). «Многомерная проблема делителей Дирихле и области, свободные от нуля для дзета-функции Римана». Функции и приближение. 28 (XXVIII): 131–140. Дои:10.7169 / facm / 1538186690.
34. Карацуба, А.А. (2004). «Нижние оценки максимального модуля дзета-функции Римана на коротких отрезках критической прямой». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. 68 (68:8): 99–104. Bibcode:2004 ИзМат..68.1157К. Дои:10.1070 / IM2004v068n06ABEH000513.
35. Карацуба, А. А. (1996). «Теорема плотности и поведение аргумента дзета-функции Римана». Мат. Заметки (60:3): 448–449.
36. Карацуба, А. А. (1996). «О функции S (t)». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. (60:5): 27–56.
37. Карацуба, А. А. (1968). «Суммы характеров и первообразные корни в конечных полях». Докл. Акад. АН СССР (180:6): 1287–1289.
38. Карацуба, А.А. (1970). «Об оценках сумм знаков». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (34:1): 20–30.
39. Карацуба, А.А. (1975). «Суммы символов в последовательностях сдвинутых простых чисел с приложениями». Мат. Заметки (17:1): 155–159.
40. Карацуба, А. А. (1973). «Нижние оценки сумм полиномиальных характеров». Мат. Заметки (14:1): 67–72.
41. Карацуба, А.А. (1971). «Распределение силовых остатков и неостаточных количеств в аддитивных последовательностях». Докл. Акад. АН СССР (196:4): 759–760.
42. Карацуба, А. А. (2000). «Взвешенные суммы символов». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Мат. 64 (64:2): 29–42. Bibcode:2000IzMat..64..249K. Дои:10.1070 / IM2000v064n02ABEH000283.
43. Карацуба, А.А. (2011). «Свойство множества простых чисел». Российские математические обзоры. 66 (2): 209–220. Bibcode:2011RuMaS..66..209K. Дои:10.1070 / RM2011v066n02ABEH004739.
44. Карацуба А.А., Карацуба Э.А. (2009). «Формула пересуммирования коллапса и возрождения в модели Джейнса-Каммингса». J. Phys. A: Математика. Теор. 42 (19): 195304, 16. Bibcode:2009JPhA ... 42s5304K. Дои:10.1088/1751-8113/42/19/195304.

• Г. И. Архипов; Чубариков В. Н. (1997). «О математических трудах профессора А.А. Карацубы». Proc. Стеклова Математика. 218.

внешняя ссылка

• Анатолий Карацуба на Проект "Математическая генеалогия"
• "Карацуба Анатолий Алексеевич (личная страничка)". Архивировано из оригинал 6 октября 2008 г.. Получено 17 ноября, 2008.
• Список исследовательских работ в Математический институт им. В.А. Стеклова