Антисимметризатор - Antisymmetrizer

В квантовая механика, антисимметризатор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ (также известный как антисимметричный оператор^[1]) - линейный оператор, делающий волновую функцию N идентичный фермионы антисимметрична относительно перестановки координат любой пары фермионов. После применения ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ волновая функция удовлетворяет Принцип исключения Паули. поскольку ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ это оператор проекции, применение антисимметризатора к волновой функции, которая уже полностью антисимметрична, не имеет никакого эффекта, действуя как оператор идентификации.

Математическое определение

Рассмотрим волновую функцию, зависящую от пространственных и спиновых координат N фермионы:

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)\quad {\text{with}}\quad i\leftrightarrow (\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}),}$

где вектор положения р_я частицы я вектор в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и σ_я берет на себя 2s+1 значения, где s является полуцелым внутренним вращение фермиона. Для электроны s = 1/2 и σ может иметь два значения («увеличение скорости»: 1/2 и «уменьшение скорости»: -1/2). Предполагается, что положения координат в обозначении имеют вполне определенный смысл. Например, 2-фермионная функция Ψ (1,2) в общем случае не будет такой же, как Ψ (2,1). Это означает, что в целом ${\displaystyle \Psi (1,2)-\Psi (2,1)\neq 0}$ и поэтому мы можем осмысленно определить оператор транспонирования ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$ который меняет местами координаты частицы я и j. В общем случае этот оператор не будет равен оператору идентичности (хотя в особых случаях это может быть).

А транспозиция имеетпаритет (также известная как подпись) -1. В Принцип Паули постулирует, что волновая функция одинаковых фермионов должна быть собственной функцией оператора транспозиции с его четностью как собственным значением

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}_{ij}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N{\big )}&\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (i),\ldots ,\pi (j),\ldots ,\pi (N){\big )}\\&\equiv \Psi (1,2,\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots ,N)\\&=-\Psi (1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N).\end{aligned}}}$

Здесь мы связали оператор транспонирования ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$ с перестановка координат π что действует на множестве N координаты. В таком случае π = (ij), где (ij) это обозначение цикла для перестановки координат частицы я и j.

Транспозиции могут быть составлены (применены последовательно). Это определяет произведение между транспозициями, которое ассоциативный. Можно показать, что произвольная перестановка N объекты могут быть записаны как продукт транспозиций, и что число транспонирований в этой декомпозиции имеет фиксированную четность. То есть, либо перестановка всегда разлагается на четное число транспозиций (перестановка называется четной и имеет четность +1), либо перестановка всегда разбивается на нечетное количество транспозиций, и тогда это нечетная перестановка с четностью −1. Обозначая четность произвольной перестановки π по (−1)^π, то антисимметричная волновая функция удовлетворяет

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,N{\big )}\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (N){\big )}=(-1)^{\pi }\Psi (1,2,\ldots ,N),}$

где мы связали линейный оператор ${\displaystyle {\hat {P}}}$ с перестановкой π.

Набор всех N! перестановки с ассоциативным произведением: «применять одну перестановку за другой» - это группа, известная как группа перестановок или симметричная группа, обозначаемый S_N. Мы определяем антисимметризатор так как

${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv {\frac {1}{N!}}\sum _{P\in S_{N}}(-1)^{\pi }{\hat {P}}.}$

Свойства антисимметризатора

в теория представлений конечных групп антисимметризатор является хорошо известным объектом, поскольку множество четностей ${\displaystyle \{(-1)^{\pi }\}}$ образует одномерное (и, следовательно, неприводимое) представление группы перестановок, известной как антисимметричное представление. Поскольку представление одномерно, множество четностей образуют характер антисимметричного представления. Антисимметризатор на самом деле оператор проекции персонажа и является квазиидемпотентный,

Отсюда следует, что для Любые N-частичная волновая функция Ψ (1, ...,N) у нас есть

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)={\begin{cases}&0\\&\Psi '(1,\dots ,N)\neq 0.\end{cases}}}$

Либо не имеет антисимметричной компоненты, и тогда антисимметризатор проецируется на ноль, либо он имеет единицу, а затем антисимметричный компонент проецирует эту антисимметричную составляющую '. Антисимметричный элемент несет левое и правое представление группы:

${\displaystyle {\hat {P}}{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}{\hat {P}}=(-1)^{\pi }{\mathcal {A}},\qquad \forall \pi \in S_{N},}$

с оператором ${\displaystyle {\hat {P}}}$ представляющая перестановку координат π. Теперь она верна для Любые N-частичная волновая функция Ψ (1, ...,N) с ненулевой антисимметричной компонентой, что

${\displaystyle {\hat {P}}{\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)\equiv {\hat {P}}\Psi '(1,\ldots ,N)=(-1)^{\pi }\Psi '(1,\ldots ,N),}$

показывая, что отличная от нуля составляющая действительно антисимметрична.

Если волновая функция симметрична относительно любой перестановки нечетной четности, она не имеет антисимметричной компоненты. Действительно, предположим, что перестановка π, представленная оператором ${\displaystyle {\hat {P}}}$, имеет нечетную четность и симметрично, то

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi =\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}{\hat {P}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow -{\mathcal {A}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}\Psi =0.}$

В качестве примера применения этого результата мы предполагаем, что Ψ является спин-орбитальный товар. Предположим далее, что спин-орбиталь встречается дважды ("дважды занята") в этом продукте, один раз с координатой k и один раз с координатой q. Тогда произведение симметрично относительно транспонирования (k, q) и, следовательно, исчезает. Обратите внимание, что этот результат дает исходную формулировку Принцип Паули: никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел (находиться на одной спин-орбитали).

Перестановки одинаковых частиц унитарный, (эрмитово сопряжение равно обратному к оператору), а поскольку π и π⁻¹ имеют ту же четность, то антисимметризатор эрмитов,

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\dagger }={\mathcal {A}}.}$

Антисимметризатор коммутирует с любыми наблюдаемыми ${\displaystyle {\hat {H}}\,}$ (Эрмитов оператор, соответствующий физической - наблюдаемой - величине)

${\displaystyle [{\mathcal {A}},{\hat {H}}]=0.}$

В противном случае измерение ${\displaystyle {\hat {H}}\,}$ мог различать частицы, что противоречит предположению, что антисимметризатор влияет только на координаты неразличимых частиц.

Связь с определителем Слейтера

В частном случае, когда антисимметризуемая волновая функция является произведением спин-орбиталей

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)=\psi _{n_{1}}(1)\psi _{n_{2}}(2)\cdots \psi _{n_{N}}(N)}$

то Определитель Слейтера создается антисимметризатором, работающим на произведении спин-орбиталей, как показано ниже:

${\displaystyle {\sqrt {N!}}\ {\mathcal {A}}\Psi (1,2,\ldots ,N)={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{n_{1}}(1)&\psi _{n_{1}}(2)&\cdots &\psi _{n_{1}}(N)\\\psi _{n_{2}}(1)&\psi _{n_{2}}(2)&\cdots &\psi _{n_{2}}(N)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\psi _{n_{N}}(1)&\psi _{n_{N}}(2)&\cdots &\psi _{n_{N}}(N)\\\end{vmatrix}}}$

Соответствие сразу следует из Формула Лейбница для определителей, который гласит

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )=\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }B_{1,\pi (1)}\cdot B_{2,\pi (2)}\cdot B_{3,\pi (3)}\cdot \,\cdots \,\cdot B_{N,\pi (N)},}$

где B матрица

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1,1}&B_{1,2}&\cdots &B_{1,N}\\B_{2,1}&B_{2,2}&\cdots &B_{2,N}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\B_{N,1}&B_{N,2}&\cdots &B_{N,N}\\\end{pmatrix}}.}$

Чтобы увидеть соответствие, мы замечаем, что метки фермионов, переставленные членами антисимметризатора, маркируют разные столбцы (вторые индексы). Первые индексы - это орбитальные индексы, п₁, ..., п_N маркировка строк.

пример

По определению антисимметризатора

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)=&{\frac {1}{6}}{\Big (}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)+\psi _{a}(3)\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)+\psi _{a}(2)\psi _{b}(3)\psi _{c}(1)\\&{}-\psi _{a}(2)\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{a}(3)\psi _{b}(2)\psi _{c}(1)-\psi _{a}(1)\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}.\end{aligned}}}$

Рассмотрим определитель Слейтера

${\displaystyle D\equiv {\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{vmatrix}\psi _{a}(1)&\psi _{a}(2)&\psi _{a}(3)\\\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}.}$

Посредством Разложение лапласа вдоль первого ряда D

${\displaystyle D={\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\begin{vmatrix}\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)\end{vmatrix}},}$

так что

${\displaystyle {\begin{aligned}D=&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\Big (}\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(1){\Big )}\\&{}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)-\psi _{b}(2)\psi _{c}(1){\Big )}.\end{aligned}}}$

Сравнивая термины, мы видим, что

${\displaystyle D={\sqrt {6}}\ {\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3).}$

Межмолекулярный антисимметризатор

Часто встречается волновая функция формы произведения.${\displaystyle \Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})}$ где полная волновая функция не антисимметрична, но факторы антисимметричны,

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{A}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})=\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})}$

и

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{B}\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})=\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}).}$

Вот ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{A}}$ антисимметризует первый N_А частицы и ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{B}}$ антисимметризует второй набор N_B частицы. Операторы, входящие в эти два антисимметризатора, представляют собой элементы подгруппы S_NА и S_NBсоответственно из S_NА+NB.

Обычно такие частично антисимметричные волновые функции встречаются в теории межмолекулярные силы, где ${\displaystyle \Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})}$ электронная волновая функция молекулы А и ${\displaystyle \Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})}$ - волновая функция молекулы B. Когда А и B Взаимодействуя, принцип Паули требует антисимметрии полной волновой функции, также при межмолекулярных перестановках.

Полная система может быть антисимметрична с помощью полного антисимметризатора ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{AB}}$ который состоит из (N_А + N_B)! термины в группе S_NА+NB. Однако таким образом нельзя воспользоваться уже имеющейся частичной антисимметрией. Более экономично использовать тот факт, что произведение двух подгрупп также является подгруппой, и рассматривать левую смежные классы этой группы продуктов в S_NА+NB:

${\displaystyle S_{N_{A}}\otimes S_{N_{B}}\subset S_{N_{A}+N_{B}}\Longrightarrow \forall \pi \in S_{N_{A}+N_{B}}:\quad \pi =\tau \pi _{A}\pi _{B},\quad \pi _{A}\in S_{N_{A}},\;\;\pi _{B}\in S_{N_{B}},}$

где τ - представитель левого класса смежности. поскольку

${\displaystyle (-1)^{\pi }=(-1)^{\tau }(-1)^{\pi _{A}}(-1)^{\pi _{B}},}$

мы можем написать

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{AB}={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}{\mathcal {A}}^{A}{\mathcal {A}}^{B}\quad {\hbox{with}}\quad {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}=\sum _{T=1}^{C_{AB}}(-1)^{\tau }{\hat {T}},\quad C_{AB}={\binom {N_{A}+N_{B}}{N_{A}}}.}$

Оператор ${\displaystyle {\hat {T}}}$ представляет собой представитель смежного класса τ (перестановка межмолекулярных координат). Очевидно межмолекулярный антисимметризатор ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}}$ имеет фактор N_А! N_B! меньше членов, чем полный антисимметризатор.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})&\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})\\&={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}),\end{aligned}}}$

так что мы видим, что достаточно действовать с ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}}$ если волновые функции подсистем уже антисимметричны.

Смотрите также

• Определитель Слейтера
• Идентичные частицы

использованная литература

1. P.A.M. Дирак, Принципы квантовой механики, 4-е издание, Clarendon, Oxford UK, (1958) стр. 248