Оценка Ареллано – Бонда - Arellano–Bond estimator - Wikipedia

В эконометрика, то Оценка Ареллано – Бонда это обобщенный метод моментов оценщик, используемый для оценки динамические модели из данные панели. Он был предложен в 1991 г. Мануэль Арельяно и Стивен Бонд,^[1] на основе более ранней работы Алок Бхаргава и Джон Денис Сарган в 1983 г. для решения некоторых проблем эндогенности.^[2] Оценщик GMM-SYS - это система, которая содержит как уровни, так и первые разностные уравнения. Он предоставляет альтернативу стандартной GMM-оценке первой разности.

Качественное описание

В отличие от моделей статических панельных данных, модели динамических панельных данных включают в себя запаздывающие уровни зависимой переменной в качестве регрессоров. Включение зависимой переменной с лагом в качестве регрессора нарушает строгую экзогенность, поскольку зависимая переменная с лагом, вероятно, будет коррелирована с случайные эффекты и / или общие ошибки.^[2] В статье Бхаргава-Сарган были разработаны оптимальные линейные комбинации предопределенных переменных из разных периодов времени, предоставлены достаточные условия для идентификации параметров модели с использованием ограничений по временным периодам, а также разработаны тесты на экзогенность для подмножества переменных. Когда допущения экзогенности нарушаются и картина корреляции между изменяющимися во времени переменными и ошибками может быть сложной, обычно используются методы статических панельных данных, такие как фиксированные эффекты оценщики могут давать непоследовательные оценки, потому что они требуют определенных строгая экзогенность предположения.

Андерсон и Сяо (1981) впервые предложили решение, используя инструментальные переменные (IV) оценка.^[3] Однако оценка Андерсона – Сяо асимптотически неэффективна, поскольку ее асимптотическая дисперсия выше, чем оценка Ареллано – Бонда, которая использует аналогичный набор инструментов, но использует обобщенный метод моментов оценка, а не инструментальные переменные оценка.

В методе Ареллано – Бонда первая разница из уравнение регрессии принимаются для устранения индивидуальных эффектов. Затем более глубокие лаги зависимой переменной используются в качестве инструментов для разностных лагов зависимой переменной (которые являются эндогенными).

В традиционных методах панельных данных добавление более глубоких лагов зависимой переменной сокращает количество доступных наблюдений. Например, если наблюдения доступны в T периодов времени, то после первого сравнения можно использовать только лагы T-1. Затем, если K лагов зависимой переменной используются в качестве инструментов, в регрессии можно использовать только наблюдения T-K-1. Это создает компромисс: добавление большего количества лагов дает больше инструментов, но уменьшает размер выборки. Метод Ареллано – Бонда позволяет обойти эту проблему.

Формальное описание

Рассмотрим статическую линейную модель ненаблюдаемых эффектов для ${\displaystyle N}$ наблюдения и ${\displaystyle T}$ периоды времени:

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\alpha _{i}+u_{it}}$ за ${\displaystyle t=1,\ldots ,T}$ и ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$

куда ${\displaystyle y_{it}}$ зависимая переменная, наблюдаемая для отдельных ${\displaystyle i}$ вовремя${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle X_{it}}$ это временной вариант ${\displaystyle 1\times k}$ матрица регрессора, ${\displaystyle \alpha _{i}}$ является ненаблюдаемым неизменным во времени индивидуальным эффектом и ${\displaystyle u_{it}}$ это срок ошибки. В отличие от ${\displaystyle X_{it}}$, ${\displaystyle \alpha _{i}}$ эконометрист не может наблюдать. Общие примеры инвариантных во времени эффектов ${\displaystyle \alpha _{i}}$ являются врожденными способностями для отдельных лиц или историческими и институциональными факторами для стран.

В отличие от модели данных статической панели, модель динамической панели также содержит запаздывания зависимой переменной в качестве регрессоров, учитывающих такие концепции, как импульс и инерция. В дополнение к регрессорам, описанным выше, рассмотрим случай, когда одно запаздывание зависимой переменной включено в качестве регрессора, ${\displaystyle y_{it-1}}$.

${\displaystyle y_{it}=X_{it}\mathbf {\beta } +\rho y_{it-1}+\alpha _{i}+u_{it}{\text{ for }}t=1,\ldots ,T{\text{ and }}i=1,\ldots ,N}$

Взяв первое отличие этого уравнения, чтобы исключить индивидуальный эффект,

${\displaystyle \Delta y_{it}=y_{it}-y_{it-1}=\Delta X_{it}\beta +\rho \Delta \,y_{it-1}+\Delta u_{it}{\text{ for }}t=1,\ldots ,T{\text{ and }}i=1,\ldots ,N.}$

Обратите внимание, что если ${\displaystyle \alpha _{i}}$ имел изменяющийся во времени коэффициент, то разность уравнения не устранит индивидуальный эффект. Это уравнение можно переписать как,

${\displaystyle \Delta y=\Delta R\pi +\Delta u.}$

Применяя формулу для эффективного обобщенного метода оценки моментов, а именно:

${\displaystyle \pi _{\text{EGMM}}=[\Delta R'Z(Z'\Omega Z)^{-1}Z'\,\Delta R]^{-1}\,\Delta R'Z(Z'\Omega Z)^{-1}Z'\Delta y}$

куда ${\displaystyle Z}$ матрица инструментов для ${\displaystyle \Delta R}$.

Матрица ${\displaystyle \Omega }$ может быть вычислено из дисперсии членов ошибки, ${\displaystyle u_{it}}$ для одношаговой оценки Ареллано – Бонда или с использованием остаточных векторов одношаговой оценки Ареллано – Бонда для двухшаговой оценки Ареллано – Бонда, которая является последовательный и асимптотически эффективный при наличии гетероскедастичности.

Матрица инструментов

Исходная оценка IV Андерсона и Сяо (1981) использует следующие моментные условия:

${\displaystyle E(y_{it-I}\,\Delta u_{it})=0{\text{ with }}I\geq 2{\text{ for each }}t\geq 3.}$

Использование одного инструмента ${\displaystyle y_{it-2}}$, эти моментные условия составляют основу инструментальной матрицы ${\displaystyle Z_{di}}$:

${\displaystyle Z_{di}={\begin{bmatrix}NA&(t=2)\\y_{i1}&(t=3)\\y_{i2}&(t=4)\\\vdots &\vdots \\y_{T-2}&(t=T)\end{bmatrix}}}$

Примечание: Первое возможное наблюдение - это t = 2 из-за первого разностного преобразования

Инструмент ${\displaystyle y_{it-2}}$ входит как один столбец. С ${\displaystyle y_{it-2}}$ недоступен в ${\displaystyle t=2}$, все наблюдения из ${\displaystyle t=2}$ должен быть отброшен.

Использование дополнительного инструмента ${\displaystyle y_{it-3}}$ означало бы добавление дополнительного столбца к ${\displaystyle Z_{di}}$. Таким образом, все наблюдения из ${\displaystyle t=3}$ пришлось бы отбросить.

Хотя добавление дополнительных инструментов увеличивает эффективность оценщика IV, меньший размер выборки снижает эффективность. Это компромисс между эффективностью и размером выборки.

Оценщик облигаций Ареллано устраняет этот компромисс с помощью инструментов, привязанных к конкретному времени.

В оценке Ареллано – Бонда используются следующие моментные условия

${\displaystyle E(y_{it-I}\,\Delta u_{it})=0{\text{ for }}t\geq 3,\,I\geq 2.}$

Используя эти моментные условия, инструментальная матрица ${\displaystyle Z_{di}}$ теперь становится:

${\displaystyle Z_{di}={\begin{bmatrix}y_{i1}&0&0&0&0&0&\cdots \\0&y_{i2}&y_{i1}&0&0&0&\cdots \\0&0&0&y_{i3}&y_{i2}&y_{i1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$

Обратите внимание, что количество моментов увеличивается с течением времени: так можно избежать компромисса между эффективностью и размером выборки. Временные периоды, расположенные дальше в будущем, имеют больше лагов, доступных для использования в качестве инструментов.

Тогда, если определить:

${\displaystyle \Delta u_{i}={\begin{bmatrix}\Delta u_{i3}\\\Delta u_{i4}\\\Delta u_{i5}\\\vdots \end{bmatrix}}}$

Условия момента можно резюмировать следующим образом:

${\displaystyle E(Z_{di}^{T}\,\Delta u_{i})=0}$

Эти моментные условия действительны только тогда, когда условие ошибки ${\displaystyle u_{it}}$ не имеет серийной корреляции. Если присутствует серийная корреляция, то оценка Ареллано – Бонда все же может использоваться при некоторых обстоятельствах, но потребуются более глубокие лаги. Например, если срок ошибки ${\displaystyle u_{it}}$ соотносится со всеми условиями ${\displaystyle u_{it-s}}$ для s${\displaystyle \leq }$S (как было бы, если бы ${\displaystyle u_{it}}$ были процессом MA (S)), необходимо было бы использовать только лаги ${\displaystyle y_{it}}$ глубины S + 1 или больше в качестве инструментов.

Системы GMM

Когда дисперсия отдельного члена эффекта по отдельным наблюдениям велика или когда стохастический процесс ${\displaystyle y_{it}}$ близок к тому, чтобы быть случайная прогулка, то оценка Ареллано – Бонда может очень плохо работать в конечных выборках. Это связано с тем, что в этих обстоятельствах зависимые переменные с запаздыванием будут слабыми инструментами.

Бланделл и Бонд (1998) вывели условие, при котором можно использовать дополнительный набор моментных условий.^[4] Эти дополнительные моментные условия можно использовать для улучшения характеристик малой выборки оценки Ареллано – Бонда. В частности, они выступали за использование моментных условий:

${\displaystyle \operatorname {E} (\Delta y_{it-1}(\alpha _{i}+u_{it}))=0{\text{ for }}t\geq 3}$ (1)

Эти дополнительные условия момента действительны при условиях, указанных в их статье. В этом случае полный набор моментных условий можно записать:

${\displaystyle \operatorname {E} (Z_{SYS,i}^{T}P_{i})=0}$

куда

${\displaystyle P_{i}={\begin{pmatrix}\Delta u_{i}\\u_{i3}\\u_{i4}\\u_{i5}\\\vdots \end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle Z_{SYS,i}={\begin{pmatrix}Z_{di}&0&0&0\\0&\Delta y_{i2}&0&0\\0&0&\Delta y_{i3}&0\\0&0&0&\ddots \end{pmatrix}}.}$

Этот метод известен как системы GMM. Обратите внимание, что согласованность и эффективность средства оценки зависят от обоснованности предположения о том, что ошибки могут быть разложены, как в уравнении (1). Это предположение можно проверить эмпирическими приложениями, и тест отношения правдоподобия часто отвергает простую декомпозицию случайных эффектов.^[2]

Реализации в статистических пакетах

• р: оценка Ареллано – Бонда доступна как часть плм упаковка.^[5][6][7]
• Stata: команды xtabond и xtabond2 вернуть оценки Ареллано – Бонда.^[8][9]

Смотрите также

• Модель случайных эффектов
• Смешанная модель

Рекомендации

1. Арельяно, Мануэль; Бонд, Стивен (1991). «Некоторые тесты спецификации для панельных данных: доказательства Монте-Карло и приложение к уравнениям занятости». Обзор экономических исследований. 58 (2): 277. Дои:10.2307/2297968. JSTOR  2297968.
2. Бхаргава, А .; Сарган, Дж. Д. (1983). «Оценка динамических моделей случайных эффектов по панельным данным за короткие периоды времени». Econometrica. 51 (6): 1635–1659. Дои:10.2307/1912110. JSTOR  1912110.
3. Андерсон, Т. У .; Сяо, Ченг (1981). «Оценка динамических моделей с ошибочными составляющими» (PDF). Журнал Американской статистической ассоциации. 76 (375): 598–606. Дои:10.1080/01621459.1981.10477691..
4. Бланделл, Ричард; Бонд, Стивен (1998). «Начальные условия и ограничения моментов в моделях динамических панельных данных». Журнал эконометрики. 87 (1): 115–143. Дои:10.1016 / S0304-4076 (98) 00009-8.
5. Клейбер, Кристиан; Зейлейс, Ахим (2008). «Линейная регрессия с панельными данными». Прикладная эконометрика с R. Springer. С. 84–89. ISBN  978-0-387-77316-2.
6. Круассан, Ив; Милло, Джованни (2008). «Эконометрика панельных данных в R: пакет plm». Журнал статистического программного обеспечения. 27 (2): 1–43. Дои:10.18637 / jss.v027.i02.
7. "plm: линейные модели для панельных данных". Проект R.
8. «xtabond - Линейная динамическая оценка панельных данных Ареллано – Бонда» (PDF). Руководство по Stata.
9. Рудман, Дэвид (2009). «Как сделать xtabond2: введение в систему GMM в Stata». Stata Journal. 9 (1): 86–136. Дои:10.1177 / 1536867X0900900106. S2CID  220292189.

дальнейшее чтение

• Балтаги, Бади Х. (2008). «Модели данных динамической панели». Эконометрический анализ панельных данных (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. С. 147–180. ISBN  978-0-470-51886-1.
• Кэмерон, А. Колин; Триведи, Правин К. (2005). «Динамические модели». Микроэконометрика: методы и приложения. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 763–768. ISBN  0-521-84805-9.
• Сяо, Ченг (2014). «Динамические модели одновременных уравнений». Анализ панельных данных (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. 397–402. ISBN  978-1-107-65763-2.