Неравенство Аски – Гаспера - Askey–Gasper inequality

В математике Неравенство Аски – Гаспера является неравенством для Многочлены Якоби доказано Ричард Аски и Джордж Гаспер (1976 ) и использован в доказательстве Гипотеза Бибербаха.

Заявление

В нем говорится, что если $β \geq 0, α + β \geq -2$ , и $-1 \leq Икс \leq 1$ тогда

{displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} {frac {P_ {k} ^ {(alpha, eta)} (x)} {P_ {k} ^ {(eta, alpha)} (1)}} geq 0}

куда

{displaystyle P_ {k} ^ {(альфа, эта)} (x)}

является многочленом Якоби.

Случай, когда $β = 0$ также можно записать как

{displaystyle {} _ {3} F_ {2} left (-n, n + alpha +2, {frac {1} {2}} (alpha +1); {frac {1} {2}} (alpha + 3), альфа +1; плотно)> 0, qquad 0leq t <1, quad alpha> -1.}

В таком виде с $α$ неотрицательное целое, неравенство использовалось Луи де Бранж в его доказательстве Гипотеза Бибербаха.

Доказательство

Эхад (1993 ) дал краткое доказательство этого неравенства, объединив тождество

{displaystyle {egin {align} {frac {(alpha +2) _ {n}} {n!}} & imes {} _ {3} F_ {2} left (-n, n + alpha +2, {frac {1} {2}} (альфа +1); {frac {1} {2}} (альфа +3), альфа +1; плотный) = & = {frac {left ({frac {1} {2 }} ight) _ {j} влево ({frac {alpha} {2}} + 1ight) _ {nj} left ({frac {alpha} {2}} + {frac {3} {2}} ight) _ {n-2j} (alpha +1) _ {n-2j}} {j! left ({frac {alpha} {2}} + {frac {3} {2}} ight) _ {nj} left ({ frac {alpha} {2}} + {frac {1} {2}} ight) _ {n-2j} (n-2j)!}} время {} _ {3} F_ {2} left (-n + 2j, n-2j + alpha +1, {frac {1} {2}} (alpha +1); {frac {1} {2}} (alpha +2), alpha +1; плотный) конец {выровнен} }}

с Неравенство Клаузена.

Обобщения

Гаспер и Рахман (2004), 8.9) дают некоторые обобщения неравенства Аски – Гаспера на базовый гипергеометрический ряд.

Смотрите также

Неравенство Турана

Рекомендации

Аски, Ричард; Гаспер, Джордж (1976), "Положительные полиномиальные суммы Якоби. II", Американский журнал математики, 98 (3): 709–737, Дои:10.2307/2373813, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373813, МИСТЕР 0430358
Аски, Ричард; Гаспер, Джордж (1986), «Неравенства для многочленов», Баернштейн, Альберт; Драсин, Дэвид; Дурен, Питер; Марден, Альберт (ред.), Гипотеза Бибербаха (Вест Лафайет, Индиана, 1985), Математика. Обзоры Monogr., 21, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 7–32, ISBN 978-0-8218-1521-2, МИСТЕР 0875228
Ekhad, Shalosh B. (1993), Delest, M .; Джейкоб, G .; Леру П. (ред.), «Краткое, элементарное и простое доказательство WZ неравенства Аски-Гаспера, которое было использовано де Бранжем в его доказательстве гипотезы Бибербаха», Теоретическая информатика, Конференция по формальным степенным рядам и алгебраической комбинаторике (Бордо, 1991), 117 (1): 199–202, Дои:10.1016 / 0304-3975 (93) 90313-И, ISSN 0304-3975, МИСТЕР 1235178
Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.2277/0521833574, ISBN 978-0-521-83357-8, МИСТЕР 2128719