Двусторонний гипергеометрический ряд - Bilateral hypergeometric series

В математике двусторонний гипергеометрический ряд является рядом Σа_п подвел итог все целые числа п, и такое, что отношение

а_п/а_п+1

из двух сроков - это рациональная функция из п. Определение обобщенный гипергеометрический ряд аналогично, за исключением того, что термины с отрицательным п должен исчезнуть; двусторонний ряд обычно будет иметь бесконечное число ненулевых членов как для положительных, так и для отрицательных п.

Двусторонний гипергеометрический ряд не может сходиться для большинства рациональных функций, хотя его можно аналитически продолжить до функции, определенной для большинства рациональных функций. Существует несколько формул суммирования, дающих свои значения для особых значений, где они сходятся.

Определение

Двусторонний гипергеометрический ряд _пЧАС_п определяется

${displaystyle {}_{p}H_{p}(a_{1},ldots ,a_{p};b_{1},ldots ,b_{p};z)={}_{p}H_{p}left({egin{matrix}a_{1}&ldots &a_{p}_{1}&ldots &b_{p}end{matrix}};zight)=sum _{n=-infty }^{infty }{frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}ldots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}ldots (b_{p})_{n}}}z^{n}}$

где

${displaystyle (a)_{n}=a(a+1)(a+2)cdots (a+n-1),}$

это возрастающий факториал или Символ Поххаммера.

Обычно переменная z принимается равным 1, и в этом случае он опускается в обозначениях. Возможно определение ряда _пЧАС_q с разными п и q аналогичным образом, но он либо не сходится, либо может быть сведен к обычному гипергеометрическому ряду заменой переменных.

Сходимость и аналитическое продолжение

Предположим, что ни одна из переменных а или б являются целыми числами, так что все члены ряда конечны и не равны нулю. Тогда условия с п<0 расходятся, если |z| <1, а члены с п> 0 расходятся, если |z| > 1, поэтому ряд не может сходиться, если |z| = 1. Когда |z| = 1, ряд сходится, если

${displaystyle Re (b_{1}+cdots b_{n}-a_{1}-cdots -a_{n})>1.}$

Двусторонний гипергеометрический ряд можно аналитически продолжить до многозначной мероморфной функции нескольких переменных, особенности которой являются точками ветвления при z = 0 и z= 1 и простые полюса при а_я = −1, −2, ... и б_я = 0, 1, 2, ... Это можно сделать следующим образом. Предположим, что ни один из а или б переменные - целые числа. Условия с п положительные сходятся при |z| <1 к функции, удовлетворяющей неоднородному линейному уравнению с особенностями при z = 0 и z= 1, поэтому можно продолжить до многозначной функции с этими точками в качестве точек ветвления. Аналогично условия с п отрицательные сходятся для |z| > 1 к функции, удовлетворяющей неоднородному линейному уравнению с особенностями при z = 0 и z= 1, поэтому можно продолжить до многозначной функции с этими точками в качестве точек ветвления. Сумма этих функций дает аналитическое продолжение двустороннего гипергеометрического ряда на все значения z кроме 0 и 1, и удовлетворяет линейное дифференциальное уравнение в z аналогично гипергеометрическому дифференциальному уравнению.

Формулы суммирования

Двусторонняя сумма Дугалла

${displaystyle {}_{2}H_{2}(a,b;c,d;1)=sum _{n=-infty }^{infty }{frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}(d)_{n}}}={frac {Gamma (d)Gamma (c)Gamma (1-a)Gamma (1-b)Gamma (c+d-a-b-1)}{Gamma (c-a)Gamma (c-b)Gamma (d-a)Gamma (d-b)}}}$

(Дугалл 1907 )

Иногда это записывается в эквивалентной форме

${displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }{frac {Gamma (a+n)Gamma (b+n)}{Gamma (c+n)Gamma (d+n)}}={frac {pi ^{2}}{sin(pi a)sin(pi b)}}{frac {Gamma (c+d-a-b-1)}{Gamma (c-a)Gamma (d-a)Gamma (c-b)Gamma (d-b)}}.}$

Формула Бейли

(Бейли 1959 ) дал следующее обобщение формулы Дугалла:

${displaystyle {}_{3}H_{3}(a,b,f+1;d,e,f;1)=sum _{n=-infty }^{infty }{frac {(a)_{n}(b)_{n}(f+1)_{n}}{(d)_{n}(e)_{n}(f)_{n}}}=lambda {frac {Gamma (d)Gamma (e)Gamma (1-a)Gamma (1-b)Gamma (d+e-a-b-2)}{Gamma (d-a)Gamma (d-b)Gamma (e-a)Gamma (e-b)}}}$

где

${displaystyle lambda =f^{-1}left[(f-a)(f-b)-(1+f-d)(1+f-e)ight].}$

Смотрите также

• Базовый двусторонний гипергеометрический ряд

использованная литература

• Бейли, В. Н. (1959), «О сумме одного двустороннего гипергеометрического ряда. ₃ЧАС₃", Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия, 10: 92–94, Дои:10.1093 / qmath / 10.1.92, ISSN  0033-5606, Г-Н  0107727
• Дугалл, Дж. (1907), "О теореме Вандермонда и некоторых других общих разложениях", Proc. Edinburgh Math. Soc., 25: 114–132, Дои:10.1017 / S0013091500033642
• Слейтер, Люси Джоан (1966), Обобщенные гипергеометрические функции, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-06483-X, Г-Н  0201688 (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN  978-0-521-09061-2)