Бивектор (комплекс) - Bivector (complex) - Wikipedia

В математика, а бивектор является векторной частью бикватернион. Для бикватерниона q = ш + Икся + уj + zk, ш называется бискалар и Икся + уj + zk это его бивектор часть. Координаты ш, Икс, у, z находятся сложные числа с мнимая единица час:

Бивектор можно записать как сумму действительной и мнимой частей:

куда и находятся векторов.Таким образом, бивектор [1]

В Алгебра Ли из Группа Лоренца выражается бивекторами. В частности, если р1 и р2 находятся правильные версоры так что , то бикватернионная кривая {exp θr1 : θр} следы снова и снова единичный круг в плоскости {Икс + год1 : Икс, ур}. Такой круг соответствует параметрам пространственного вращения группы Лоренца.

Сейчас же (часр2)2 = (−1)(−1) = +1, а бикватернионная кривая {exp θ(часр2) : θр} это гипербола единиц в плоскости {Икс + год2 : Икс, ур}. Преобразования пространства-времени в группе Лоренца, приводящие к Сокращения Фитцджеральда и замедление времени зависеть от гиперболический угол параметр. По словам Рональда Шоу, «бивекторы - это логарифмы преобразований Лоренца».[2]

В коммутатор произведение этой алгебры Ли вдвое больше перекрестное произведение на р3, например, [i, j] = ij - ji = 2k, что вдвое больше я × jКак писал Шоу в 1970 году:

Теперь хорошо известно, что алгебру Ли однородной группы Лоренца можно рассматривать как алгебру бивекторов при коммутации. [...] Алгебра Ли бивекторов - это, по сути, алгебра комплексных 3-векторов, причем произведение Ли определяется как знакомое перекрестное произведение в (комплексном) 3-мерном пространстве.[3]

Уильям Роуэн Гамильтон придумал оба термина вектор и бивектор. Первый член был назван с кватернионами, а второй примерно десятью годами позже, как в Лекции по кватернионам (1853).[1]:665 Популярный текст Векторный анализ (1901) использовали этот термин.[4]:249

Учитывая бивектор р = р1 + чр2, то эллипс для которого р1 и р2 пара сопряженные полудиаметры называется направленный эллипс бивектора р.[4]:436

В стандартном линейном представлении бикватернионы как комплексные матрицы 2 × 2 действуя на комплексная плоскость с основа {1, h},

представляет собой бивектор q = vя + шj + Иксk.

В сопряженный транспонировать этой матрицы соответствует -q, поэтому представление бивектора q это косоэрмитова матрица.

Людвик Зильберштейн изучил усложненный электромагнитное поле E + чB, где есть три компонента, каждая из которых представляет собой комплексное число, известное как Вектор Римана-Зильберштейна.[5][6]

«Бивекторы [...] помогают описывать эллиптически поляризованные однородные и неоднородные плоские волны - один вектор для направления распространения, другой для амплитуды».[7]

Рекомендации

  1. ^ а б Гамильтон, W.R. (1853). «О геометрической интерпретации некоторых результатов расчета с бикватернионами» (PDF). Труды Королевская ирландская академия. 5: 388–390. Ссылка из коллекции Дэвида Р. Уилкинса на Тринити-колледж, Дублин
  2. ^ Шоу, Рональд; Боутелл, Грэм (1969). "Бивекторный логарифм преобразования Лоренца". Ежеквартальный математический журнал. 20 (1): 497–503. Дои:10.1093 / qmath / 20.1.497.
  3. ^ Шоу, Рональд (1970). «Подгрупповая структура однородной группы Лоренца». Ежеквартальный математический журнал. 21 (1): 101–124. Дои:10.1093 / qmath / 21.1.101.
  4. ^ а б Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ
  5. ^ Зильберштейн, Людвик (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung" (PDF). Annalen der Physik. 327 (3): 579–586. Bibcode:1907AnP ... 327..579S. Дои:10.1002 / andp.19073270313.
  6. ^ Зильберштейн, Людвик (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung"'" (PDF). Annalen der Physik. 329 (14): 783–4. Bibcode:1907AnP ... 329..783S. Дои:10.1002 / andp.19073291409.
  7. ^ "Телеграфные обзоры §Бивекторы и волны в механике и оптике". Американский математический ежемесячный журнал. 102 (6): 571. 1995. Дои:10.1080/00029890.1995.12004621.