Теорема Каратеодори (конформное отображение) - Carathéodorys theorem (conformal mapping) - Wikipedia

В математика, Теорема Каратеодори это теорема в комплексный анализ, названный в честь Константин Каратеодори, что расширяет Теорема Римана об отображении. Теорема, впервые доказанная в 1913 году, утверждает, что конформное отображение отправка единичный диск в регион в комплексная плоскость ограниченный Кривая Иордании продолжается до гомеоморфизм с единичной окружности на жордановую кривую. Результат - один из результатов Каратеодори на прайм заканчивается и граничное поведение однолистных голоморфных функций.

Доказательства теоремы Каратеодори

Первое доказательство теоремы Каратеодори, представленное здесь, представляет собой резюме краткого автономного отчета в Гарнетт и Маршалл (2005), стр. 14–15); есть связанные доказательства в Поммеренке (1992) и Кранц (2006).

Теорема Каратеодори. Если ж отображает открытый единичный диск D конформно на ограниченную область U в C, тогда ж имеет непрерывное взаимно однозначное продолжение на замкнутый единичный круг тогда и только тогда, когда ∂U жорданова кривая.

Очевидно, что если ж допускает продолжение до гомеоморфизма, то ∂U должна быть жордановой кривой.

Наоборот, если ∂U жорданова кривая, сначала нужно доказать ж продолжается до закрытия D. На самом деле это будет иметь место тогда и только тогда, когда ж равномерно непрерывна на D: ибо это верно, если оно имеет непрерывное продолжение до закрытия D; и если ж равномерно непрерывно, легко проверить ж имеет пределы на единичной окружности, и те же неравенства равномерной непрерывности выполняются при замыкании D.

Предположим, что ж не является равномерно непрерывным. В этом случае должны быть ε> 0 и точка ζ на единичной окружности и последовательности z_п, ш_п стремящаяся к ζ с |ж(z_п) − ж(ш_п) | ≥ 2ε. Ниже показано, что это приводит к противоречию, так что ж должен быть равномерно непрерывным и, следовательно, иметь непрерывное продолжение до замыкания D.

Для 0 < р <1, пусть γ_р - кривая, заданная дугой окружности | z - ζ | знак равно р лежащий внутри D. потом ж ∘ γ_р жорданова кривая. Его длину можно оценить с помощью Неравенство Коши – Шварца:

{ displaystyle displaystyle { ell (е circ gamma _ {r}) = int _ { gamma _ {r}} | f ^ { prime} (z) | , | dz | leq left ( int _ { gamma _ {r}} , | dz | right) ^ {1/2} cdot left ( int _ { gamma _ {r}} | f ^ { prime} (z) | ^ {2} , | dz | right) ^ {1/2} leq (2 pi r) ^ {1/2} cdot left ( int _ { { theta: | zeta + re ^ {i theta} | <1 }} | f ^ { prime} ( zeta + re ^ {i theta}) | ^ {2} , r , d theta справа) ^ {1/2}.}}

Следовательно, существует «оценка длины и площади»:

{ displaystyle displaystyle { int _ {0} ^ {1} ell (f circ gamma _ {r}) ^ {2} , {dr over r} leq 2 pi int _ { | z | <1} | f ^ { prime} (z) | ^ {2} , dx , dy = 2 pi cdot { rm {Area}} , f (D) < infty. }}

Из конечности интеграла в левой части следует, что существует последовательность р_п уменьшается до 0 с ${ displaystyle ell (е circ gamma _ {r_ {n}})}$ стремится к 0. Но длина кривой грамм(т) за т в (а, б) дан кем-то

{ displaystyle displaystyle { ell (g) = sup _ {a

Конечность ${ displaystyle ell (е circ gamma _ {r_ {n}})}$ следовательно, следует, что кривая имеет предельные точки а_п, б_п на двух концах с |а_п – б_п| ≤ ${ displaystyle ell (е circ gamma _ {r_ {n}})}$ , поэтому эта разница стремится к 0. Эти две предельные точки должны лежать на ∂U, потому что ж это гомеоморфизм между D и U и, таким образом, последовательность, сходящаяся в U должно быть изображение под ж последовательности, сходящейся в D. Поскольку ∂U является гомеоморфным образом окружности ∂D, расстояние между двумя соответствующими параметрами ξ_п и η_п в ∂U должен стремиться к 0. Таким образом, в конечном итоге наименьшая дуга окружности на ∂D присоединение ξ_п и η_п определяется и по равномерной непрерывности диаметр его образа τ_п стремится к 0. Вместе τ_п и ж ∘ γ_{р_п} образуют простую кривую Жордана. Его интерьер U_п содержится в U по теореме Жордана кривой для ∂U и ∂U_п: чтобы увидеть это, обратите внимание, что U внутренность ∂U, поскольку она ограничена, связна и одновременно открыта и замкнута в дополнении к ∂U; поэтому внешняя область ∂U неограничен, связен и не пересекает ∂U_п, следовательно, его замыкание содержится в замыкании внешности ∂U_п; взяв дополнения, получаем желаемое включение. Диаметр ∂U_п стремится к 0, поскольку диаметры τ_п и ж ∘ γ_{р_п} стремятся к 0. Следовательно, диаметр и площадь U_п стремятся к 0.

Сейчас если V_п обозначает пересечение D с диском |z - ζ | < р_п, тогда ж(V_п) = U_п. Действительно, дуга γ_{р_п} разделяет D в V_п и дополнительный регион; U_п компонент связности U \ ж ∘ γ_{р_п}, поскольку он связен и одновременно открыт и замкнут в этом множестве, поэтому при конформном гомеоморфизме ж Кривая ж ∘ γ_{р_п} разделяет U в U_п и дополнительный регион U_п′, Одно из которых равно ж(V_п). Поскольку площади ж(V_п) и U_п стремятся к 0, а сумма площадей U_п и U_п′ Фиксировано, то ж(V_п) = U_п.

Так что диаметр ж(V_п) стремится к 0. С другой стороны, переходя к подпоследовательностям (z_п) и (ш_п) при необходимости можно предположить, что z_п и ш_п оба лежат в V_п. Но это дает противоречие, поскольку |ж(z_п) − ж(ш_п) | ≥ ε. Так ж должен быть равномерно непрерывным на U.

Таким образом ж продолжается до закрытия D. С ж(D) = U, по компактности ж несет закрытие D на закрытие U и, следовательно, ∂D на ∂U. Если ж не однозначен, есть баллы ты, v на ∂D с ты ≠ v и ж(ты) = ж(v). Позволять Икс и Y быть радиальными линиями от 0 до ты и v. потом ж(Икс ∪ Y) - жорданова кривая. Рассуждая, как и прежде, его интерьер V содержится в U и является связным компонентом U \ ж(Икс ∪ Y). С другой стороны, D \ (Икс ∪ Y) - несвязное объединение двух открытых секторовW₁ и W₂. Следовательно, для одного из них W₁ сказать, ж(W₁) = V. Позволять Z быть частью ∂W₁ на единичном круге, так что Z замкнутая дуга и ж(Z) является подмножеством как ∂U и закрытие V. Но их пересечение - одна точка и, следовательно, ж постоянно на Z. По принципу отражения Шварца ж может быть аналитически продолжена конформным отражением через дугу окружности. Поскольку непостоянные голоморфные функции имеют изолированные нули, это вынуждает ж быть постоянным; противоречие. Так ж однозначно и, следовательно, гомеоморфизм на замыкании D.^[1]^[2]

Два разных доказательства теоремы Каратеодори описаны в Каратеодори (1954) и Каратеодори (1998). Первое доказательство следует оригинальному методу доказательства Каратеодори из 1913 г., использующему свойства Мера Лебега на окружности: непрерывное продолжение обратной функции грамм из ж к ∂U оправдано Теорема Фату о граничном поведении ограниченных гармонических функций в единичном круге. Второе доказательство основано на методе Линделёф (1914), где установлено усиление неравенства максимума модуля для ограниченных голоморфных функций час определенная в ограниченной области V: если а лежит в V, тогда

|час(а)| ≤ м^т ⋅ M^{1 − т},

где 0 ≤ т ≤ 1, M максимальный модуль час для последовательных пределов на ∂U и м это максимальный модуль час для последовательных пределов на ∂U лежащий в секторе с центром а под углом 2πт в а.^[3]

Непрерывное продолжение и теорема Каратеодори-Торхорста

Расширение теоремы утверждает, что конформный изоморфизм

{ Displaystyle g двоеточие mathbb {D} to U}

,

куда ${ displaystyle U}$ является односвязным подмножеством Сфера Римана, продолжается до единичной окружности тогда и только тогда, когда граница из ${ displaystyle U}$ является локально связанный.

Этот результат часто также приписывают Каратеодори, но впервые он был сформулирован и доказан Мари Торхорст в ее диссертации 1918 г.^[4] под присмотром Ганс Хан, используя теорию Каратеодори прайм заканчивается. Точнее, Торхорст доказал, что локальная связность эквивалентна области, имеющей только простые концы первого рода. По теории простых концов последнее свойство, в свою очередь, эквивалентно ${ displaystyle g}$ имеющий непрерывное расширение.

Примечания

^ Кранц 2006, стр. 116–117
^ Гарнетт и Маршалл 2005, п. 15
^ Альфорс 2010, стр. 37–40
^ Торхорст, Мари (1921), "Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete", Mathematische Zeitschrift, 9 (1–2): 44–65, Дои:10.1007 / BF01378335, S2CID 120418797

Теорема Каратеодори (конформное отображение) - Carathéodorys theorem (conformal mapping) - Wikipedia

Содержание

Доказательства теоремы Каратеодори

Непрерывное продолжение и теорема Каратеодори-Торхорста

Примечания

Рекомендации