Каустик (математика) - Caustic (mathematics) - Wikipedia

Для использования в других целях см. Каустик (значения).

Отражающая каустика, генерируемая круг и параллельные лучи

В дифференциальная геометрия, а едкий это конверт из лучи либо отраженный или же преломленный по многообразие. Это связано с концепцией каустика в геометрическая оптика. Источником луча может быть точка (называемая радиантом) или параллельные лучи из бесконечно удаленной точки, и в этом случае необходимо указать вектор направления лучей.

В более общем смысле, особенно применительно к симплектическая геометрия и теория сингулярности, каустика - это набор критических значений из Лагранжево отображение (π ○ я) : L ↪ M ↠ B; куда я : L ↪ M это Лагранжево погружение из Лагранжево подмногообразие L в симплектическое многообразие M, и π : M ↠ B это Лагранжево расслоение симплектического многообразия M. Каустика - это подмножество лагранжиана расслоение с базовое пространство B.^[1]

Катакустический

А катакустический отражающий случай.

С лучистым, это эволюционировать из ортотомический сияющего.

Случай плоских параллельных источников лучей: предположим, что вектор направления равен ${\displaystyle (a,b)}$ а зеркальная кривая параметризуется как ${\displaystyle (u(t),v(t))}$. Вектор нормали в точке равен ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$; отражение вектора направления (нормаль требует специальной нормализации)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Компоненты найденного отраженного вектора рассматривают его как касательную.

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Используя самый простой конверт форма

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

что может быть неэстетично, но ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ дает линейная система в ${\displaystyle (x,y)}$ и поэтому получить параметризацию катакостики элементарно. Правило Крамера будет служить.

Пример

Пусть вектор направления равен (0,1), а зеркало - ${\displaystyle (t,t^{2}).}$потом

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

и ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ есть решение ${\displaystyle (0,1/4)}$; т.е., свет попадает в параболический зеркало, параллельное своей оси, отражается через фокус.

Рекомендации

1. Арнольд, В.И.; Варченко, А.; Гусейн-Заде, С.М. (1985). Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, Том 1. Birkhäuser. ISBN  0-8176-3187-9.

Смотрите также

• Разрезать геометрическое место (риманово многообразие)
• Последнее геометрическое утверждение Якоби
• Нефроидный каустик

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Каустик». MathWorld.