Классификация вещественных алгебр Ли малой размерности - Classification of low-dimensional real Lie algebras - Wikipedia

Этот математика -связанный список дает Мубаракзянова классификация вещественных алгебр Ли малой размерности, издано на русском языке в 1963 году.^[1] Дополняет статью о Алгебра Ли в районе абстрактная алгебра.

Английская версия и обзор этой классификации были опубликованы Popovych et al.^[2] в 2003 г.

Классификация Мубаракзянова

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{n}}$ быть ${\displaystyle n}$-размерный Алгебра Ли над поле из действительные числа с генераторами ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$, ${\displaystyle n\leq 4}$.^{[требуется разъяснение ]} Для каждой алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ мы приводим только ненулевые коммутаторы между базисными элементами.

Одномерный

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$, абелевский.

Двумерный

• ${\displaystyle 2{\mathfrak {g}}_{1}}$, абелева ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}}$, разрешимый ${\displaystyle {\mathfrak {af}}(1)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \}}$,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1}.}$

Трехмерный

• ${\displaystyle 3{\mathfrak {g}}_{1}}$, абелева, Бьянки I;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимая разрешимая, Бьянки III;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.1}}$, Алгебра Гейзенберга – Вейля, нильпотентная, Бьянки II,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.2}}$, разрешима, Бьянки IV,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}}$, разрешима, Бьянки V,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}}$, разрешима, Бьянки VI, Алгебра Пуанкаре ${\displaystyle {\mathfrak {p}}(1,1)}$ когда ${\displaystyle \alpha =-1}$,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$, разрешима, Бьянки VII,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}}$, простой, Бьянки VIII, ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),}$

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}}$, простой, Бьянки VIII, ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3),}$

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{2}]=e_{3}.}$

Алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}}$ можно рассматривать как крайний случай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$, когда ${\displaystyle \beta \rightarrow \infty }$, образуя сжатие алгебры Ли.

Над полем ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}}$ изоморфны ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}}$, соответственно.

Четырехмерный

• ${\displaystyle 4{\mathfrak {g}}_{1}}$, абелева;
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus 2{\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle 2{\mathfrak {g}}_{2.1}}$, разложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1}\quad [e_{3},e_{4}]=e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимый нильпотент,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.2}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.3}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, разложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2}\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, неразрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, неразрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{2}]=e_{3},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.1}}$, неразложимый нильпотент,

${\displaystyle [e_{2},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.2}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\beta e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3},\quad \beta \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.3}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.4}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}+e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.5}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\gamma e_{3},\quad \alpha \beta \gamma \neq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.6}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\beta e_{3},\quad \alpha >0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.7}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.8}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=(1+\beta )e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\beta e_{3},\quad -1\leq \beta \leq 1;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.9}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\alpha e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\alpha e_{3},\quad \alpha \geq 0;}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.10}}$, неразложимая разрешимая,

${\displaystyle [e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{4}]=-e_{2},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}.}$

Алгебра ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.3}}$ можно рассматривать как крайний случай ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.2}}$, когда ${\displaystyle \beta \rightarrow 0}$, образуя сжатие алгебры Ли.

Над полем ${\displaystyle {\mathbb {C} }}$ алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.6}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.9}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.10}}$ изоморфны ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.5}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{4.8}}$, ${\displaystyle {2{\mathfrak {g}}}_{2.1}}$, соответственно.

Примечания

1. Мубаракзянов 1963
2. Попович 2003 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFPopovych2003 (помощь)

Рекомендации

• Мубаракзянов, Г. (1963). «О разрешимых алгебрах Ли». Изв. Выс. Учеб. Завед. Математика (на русском). 1 (32): 114–123. МИСТЕР  0153714. Zbl  0166.04104.
• Попович, Р.О .; Бойко, В.М .; Нестеренко, М.О .; Lutfullin, M.W .; и другие. (2003). «Реализации вещественных алгебр Ли малой размерности». J. Phys. A: Математика. Gen. 36 (26): 7337–7360. arXiv:math-ph / 0301029. Bibcode:2003JPhA ... 36.7337P. Дои:10.1088/0305-4470/36/26/309.