Комплексно-ориентированная теория когомологий - Complex-oriented cohomology theory

В алгебраическая топология, а комплексно-ориентируемая теория когомологий это теория мультипликативных когомологий E такое, что отображение ограничения ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })\to E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})}$ сюръективно. Элемент ${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })}$ что ограничивается каноническим генератором редуцированной теории ${\displaystyle {\widetilde {E}}^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})}$ называется комплексная ориентация. Это понятие является центральным в работе Квиллена, связывающей когомологии с формальные групповые законы.^{[нужна цитата ]}

Если E - четная теория, означающая ${\displaystyle \pi _{3}E=\pi _{5}E=\cdots }$, тогда E комплексно ориентирован. Это следует из Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха.

Примеры:

• Обычные когомологии с любым кольцом коэффициентов р комплексно ориентируемый, так как ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty };R)\simeq \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1};R)}$.
• Сложный K-теория, обозначенная KU, комплексно-ориентированный, так как он четный. (Теорема периодичности Ботта )
• Сложный кобордизм, спектр которого обозначается MU, комплексно-ориентируем.

Сложная ориентация, назовите это т, порождает следующий формальный групповой закон: пусть м быть умножением

${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty },([x],[y])\mapsto [xy]}$

куда ${\displaystyle [x]}$ обозначает линию, проходящую через Икс в нижележащем векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$ из ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$. Это отображение, классифицирующее тензорное произведение универсального линейного расслоения над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$. Просмотр

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=\varprojlim R[t]/(t^{n+1})=R[\![t]\!],\quad R=\pi _{*}E}$,

позволять ${\displaystyle f=m^{*}(t)}$ быть откатом т вдоль м. Оно живет в

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{m})=\varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1})=R[\![x,y]\!]}$

и можно показать, используя свойства тензорного произведения линейных расслоений, что это формальный групповой закон (например, удовлетворяет ассоциативности).

Смотрите также

• Теория хроматической гомотопии

Рекомендации

• М. Хопкинс, Комплексно ориентированная теория когомологий и язык стеков
• Дж. Лурье, Теория хроматической гомотопии (252x)