Группа конвергенции - Convergence group

В математике группа конвергенции или группа дискретной сходимости это группа ${\displaystyle \Gamma }$ играет роль от гомеоморфизмы на компактный метризуемое пространство ${\displaystyle M}$ таким образом, чтобы обобщить свойства действия Клейнианская группа от Преобразования Мебиуса на идеальной границе ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ из гиперболическое 3-пространство ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ Понятие группы сходимости было введено Геринг и Мартин (1987) ^[1] и с тех пор нашла широкое применение в геометрическая топология, квазиконформный анализ, и геометрическая теория групп.

Формальное определение

Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ - группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$. Это действие называется действие конвергенции или действие дискретной сходимости (а потом ${\displaystyle \Gamma }$ называется группа конвергенции или группа дискретной сходимости для этого действия), если для каждой бесконечной различной последовательности элементов ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ существует подпоследовательность ${\displaystyle \gamma _{n_{k}},k=1,2,\dots }$ и точки ${\displaystyle a,b\in M}$ такие, что карты ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}{\big |}_{M\setminus \{a\}}}$ сходятся равномерно на компактных подмножествах к постоянному отображению, посылающему ${\displaystyle M\setminus \{a\}}$ к ${\displaystyle b}$. Здесь равномерная сходимость на компактных подмножествах означает, что для любой открытой окрестности ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle M}$ и каждый компакт ${\displaystyle K\subset M\setminus \{a\}}$ существует индекс ${\displaystyle k_{0}\geq 1}$ так что для каждого ${\displaystyle k\geq k_{0},}$ ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}(K)\subseteq U}$. Обратите внимание, что «полюса» ${\displaystyle a,b\in M}$ связанный с подпоследовательностью ${\displaystyle \gamma _{n_{k}}}$ не обязательно должны быть различимы.

Переформулировка в терминах действия на различные тройки

Приведенное выше определение группы сходимости допускает полезную эквивалентную переформулировку в терминах действия ${\displaystyle \Gamma }$ на «пространстве различных троек» ${\displaystyle M}$.Для набора ${\displaystyle M}$ обозначать ${\displaystyle \Theta (M):=M^{3}\setminus \Delta (M)}$, где ${\displaystyle \Delta (M)=\{(a,b,c)\in M^{3}\mid \#\{a,b,c\}\leq 2\}}$. Набор ${\displaystyle \Theta (M)}$ называется «пространством различных троек» для ${\displaystyle M}$.

Тогда, как известно, имеет место следующая эквивалентность:^[2]

Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ - группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$ минимум с двумя точками. Тогда это действие является действием дискретной сходимости тогда и только тогда, когда индуцированное действие ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle \Theta (M)}$ является правильно прерывистый.

Примеры

• Действие Клейнианская группа ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\partial \mathbb {H} ^{3}}$ от Преобразования Мебиуса является действием группы сходимости.
• Действие словесно-гиперболическая группа ${\displaystyle G}$ переводом на его идеальной границе ${\displaystyle \partial G}$ является действием группы сходимости.
• Действие относительно гиперболическая группа ${\displaystyle G}$ переводом на границе Боудитча ${\displaystyle \partial G}$ является действием группы сходимости.
• Позволять ${\displaystyle X}$ быть правильным геодезическим Громов-гиперболический метрическое пространство и пусть ${\displaystyle \Gamma }$ - группа, действующая собственно разрывно изометриями на ${\displaystyle X}$. Тогда соответствующее граничное действие ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle \partial X}$ является действием дискретной сходимости (лемма 2.11 из ^[2]).

Классификация элементов в группах сходимости

Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ - группа, действующая гомеоморфизмами на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$минимум с тремя точками, и пусть ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$. Тогда известно (лемма 3.1 в ^[2] или лемму 6.2 в ^[3]), что происходит ровно одно из следующего:

(1) Элемент ${\displaystyle \gamma }$ имеет конечный порядок в ${\displaystyle \Gamma }$; в таком случае ${\displaystyle \gamma }$ называется эллиптический.

(2) Элемент ${\displaystyle \gamma }$ имеет бесконечный порядок в ${\displaystyle \Gamma }$ и фиксированный набор ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ это одна точка; в таком случае ${\displaystyle \gamma }$ называется параболический.

(3) Элемент ${\displaystyle \gamma }$ имеет бесконечный порядок в ${\displaystyle \Gamma }$ и фиксированный набор ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ состоит из двух различных точек; в таком случае ${\displaystyle \gamma }$ называется локсодромный.

Причем для каждого ${\displaystyle p\neq 0}$ элементы ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \gamma ^{p}}$имеют одинаковый тип. Также в случаях (2) и (3) ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\operatorname {Fix} _{M}(\gamma ^{p})}$ (где ${\displaystyle p\neq 0}$) и группа ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ действует должным образом с перерывами на ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$. Кроме того, если ${\displaystyle \gamma }$ локсодромный, то ${\displaystyle \langle \gamma \rangle }$ действует должным образом прерывисто и компактно на ${\displaystyle M\setminus \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$.

Если ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ параболическая с неподвижной точкой ${\displaystyle a\in M}$ затем для каждого ${\displaystyle x\in M}$ надо ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=\lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a}$Если ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ локсодромный, то ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )}$ можно записать как ${\displaystyle \operatorname {Fix} _{M}(\gamma )=\{a_{-},a_{+}\}}$ так что для каждого ${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{-}\}}$ надо ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma ^{n}x=a_{+}}$ и для каждого ${\displaystyle x\in M\setminus \{a_{+}\}}$ надо ${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }\gamma ^{n}x=a_{-}}$, и эти сходимости равномерны на компактных подмножествах ${\displaystyle M\setminus \{a_{-},a_{+}\}}$.

Группы равномерной сходимости

Действие дискретной сходимости группы ${\displaystyle \Gamma }$ на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$ называется униформа (в таком случае ${\displaystyle \Gamma }$ называется группа равномерной сходимости) если действие ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle \Theta (M)}$ является совместно компактировать. Таким образом ${\displaystyle \Gamma }$ является группой равномерной сходимости тогда и только тогда, когда ее действие на ${\displaystyle \Theta (M)}$ одновременно является разрывным и совместно компактным.

Конические предельные точки

Позволять ${\displaystyle \Gamma }$ действовать на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$ как группа дискретной сходимости. Точка ${\displaystyle x\in M}$ называется коническая предельная точка (иногда также называют радиальная предельная точка или точка приближения), если существует бесконечная последовательность различных элементов ${\displaystyle \gamma _{n}\in \Gamma }$ и отдельные точки ${\displaystyle a,b\in M}$ такой, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}x=a}$ и для каждого ${\displaystyle y\in M\setminus \{x\}}$ надо ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}y=b}$.

Важный результат Тукии,^[4] также независимо получен Bowditch,^[2][5] состояния:

Действие группы дискретной сходимости группы ${\displaystyle \Gamma }$ на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$ равномерно тогда и только тогда, когда каждая неизолированная точка ${\displaystyle M}$ - коническая предельная точка.

Словесно-гиперболические группы и их границы

Это уже заметил Громов.^[6] что естественное действие переводом словесно-гиперболическая группа ${\displaystyle G}$ на его границе ${\displaystyle \partial G}$ является действием равномерной сходимости (см.^[2] для формального доказательства). Bowditch^[5] доказал важное обратное, получив таким образом топологическую характеристику словесно-гиперболических групп:

Теорема. Позволять ${\displaystyle G}$ действуют как дискретная группа равномерной сходимости на компактном метризуемом пространстве ${\displaystyle M}$ без изолированных точек. Тогда группа ${\displaystyle G}$ словесно-гиперболичен и существует ${\displaystyle G}$-эквивариантный гомеоморфизм ${\displaystyle M\to \partial G}$.

Действия конвергенции по кругу

Изометрическое действие группы ${\displaystyle G}$ на гиперболическая плоскость ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ называется геометрический если это действие правильно прерывистое и компактное. Каждое геометрическое действие ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ индуцирует действие равномерной сходимости ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\partial H^{2}\approx \partial G}$Важный результат Тукии (1986),^[7] Габай (1992),^[8] Кассон – Юнгрейс (1994),^[9] и Фреден (1995)^[10] показывает, что верно и обратное:

Теорема. Если ${\displaystyle G}$ - группа, действующая как дискретная группа равномерной сходимости на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ то это действие топологически сопряжено с действием, индуцированным геометрическим действием ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ по изометрии.

Обратите внимание, что всякий раз, когда ${\displaystyle G}$ действует геометрически на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$, группа ${\displaystyle G}$ является практически гиперболическая поверхностная группа, т. е. ${\displaystyle G}$ содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе замкнутой гиперболической поверхности.

Действия конвергенции на 2-х сферах

Одна из эквивалентных переформулировок Гипотеза Кэннона, первоначально поставленный Джеймс В. Кэннон в терминах словесно-гиперболических групп с границами, гомеоморфными ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$,^[11] говорит, что если ${\displaystyle G}$ - группа, действующая как дискретная группа равномерной сходимости на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ то это действие топологически сопряжено с действием, индуцированным геометрическое действие из ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$ по изометрии. Это предположение остается открытым.

Приложения и дальнейшие обобщения

• Яман дал характеристику относительно гиперболические группы с точки зрения действий конвергенции,^[12] обобщение характеристики Боудитча словесно-гиперболических групп как групп равномерной сходимости.
• Можно рассматривать более общие варианты групповых действий со «свойством сходимости» без предположения о дискретности.^[13]
• Самый общий вариант понятия Карта Кэннон-Терстон, первоначально определенные в контексте клейновых и словесно-гиперболических групп, могут быть определены и изучены в контексте задания групп сходимости.^[14]

использованная литература

1. Ф. В. Геринг и Г. Дж. Мартин, Дискретные квазиконформные группы I, Труды Лондонского математического общества 55 (1987), 331–358
2. Б. Х. Боудич, Группы сходимости и конфигурационные пространства. Геометрическая теория групп (Канберра, 1996), 23–54, de Gruyter, Berlin, 1999.
3. Б. Х. Боудич, Древовидные структуры, возникающие из континуумов и групп сходимости. Мемуары Американского математического общества 139 (1999), нет. 662.
4. П. Тукиа, Конические предельные точки и группы равномерной сходимости.Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 501 (1998), 71–98
5. Б. Боудич, Топологическая характеристика гиперболических групп. Журнал Американского математического общества 11 (1998), нет. 3, 643–667
6. Громов Михаил (1987). «Гиперболические группы». В Герстене, Стив М. (ред.). Очерки теории групп. Публикации НИИ математических наук. 8. Нью-Йорк: Спрингер. С. 75–263. Дои:10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN  0-387-96618-8. Г-Н  0919829.
7. П. Тукиа, О квазиконформных группах. Журнал д'анализа математика 46 (1986), 318–346.
8. Д. Габай, Группы сходимости - это фуксовы группы. Анналы математики 136 (1992), нет. 3, 447–510.
9. А. Кассон, Д. Юнгрейс, Группы сходимости и трехмерные расслоенные многообразия Зейферта.Inventiones Mathematicae 118 (1994), нет. 3, 441–456.
10. Э. Фреден, Отрицательно изогнутые группы обладают свойством сходимости. Я. Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Серия A I. Mathematica 20 (1995), нет. 2, 333–348.
11. Джеймс В. Кэннон, Теория отрицательно искривленных пространств и групп. Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства (Триест, 1989), 315–369, Oxford Sci. Publ., Oxford Univ. Press, Нью-Йорк, 1991
12. А. Яман, Топологическая характеристика относительно гиперболических групп. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 566 (2004), 41–89
13. В. Герасимов, Группы расширенной сходимости относительно гиперболичны., Геометрический и функциональный анализ (GAFA) 19 (2009), нет. 1, 137–169
14. В. Джон, И. Капович, К. Лейнингер, К. Охика, Конические предельные точки и карта Кэннона-Терстона. Конформная геометрия и динамика 20 (2016), 58–80