Проблемы кузена - Cousin problems

В математика, то Проблемы кузена два вопроса в несколько сложных переменных, относительно существования мероморфные функции которые указаны с точки зрения местных данных. Они были введены в особых случаях Пьер Кузен в 1895 году. Теперь они поставлены и решены для любых комплексное многообразие M, с точки зрения условий на M.

Для обеих задач открытая крышка из M по комплектам U_я задается вместе с мероморфной функцией ж_я на каждом U_я.

Проблема двоюродного брата

В проблема кузена или аддитивная проблема Кузена предполагает, что каждое различие

${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$

это голоморфная функция, где это определено. Он запрашивает мероморфную функцию ж на M такой, что

${\displaystyle f-f_{i}}$

является голоморфный на U_я; другими словами, это ж разделяет единственное число поведение данной локальной функции. Данное условие на ${\displaystyle f_{i}-f_{j}}$ очевидно нужно за это; поэтому проблема сводится к тому, чтобы спросить, достаточно ли этого. Случай одной переменной - это Теорема Миттаг-Леффлера о назначении полюсов, когда M открытое подмножество комплексная плоскость. Риманова поверхность теория показывает, что некоторые ограничения на M потребуется. Проблему всегда можно решить на Коллектор Штейна.

Первую проблему кузена можно понять с точки зрения когомологии пучков следующим образом. Позволять K быть пучок мероморфных функций и О пучок голоморфных функций на M. Глобальный раздел ${\displaystyle f}$ из K переходит в глобальный раздел ${\displaystyle \phi (f)}$ факторного пучка K/О. Обратный вопрос - это первая проблема Кузена: учитывая глобальный раздел K/О, есть ли глобальный раздел K откуда это возникает? Таким образом, проблема состоит в том, чтобы охарактеризовать изображение карты.

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}$

Посредством длинная точная последовательность когомологий,

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

точна, поэтому первая проблема Кузена всегда разрешима при условии, что первая группа когомологий ЧАС¹(M,О) исчезает. В частности, Теорема Картана B, проблема Кузена всегда разрешима, если M является многообразием Штейна.

Проблема троюродного брата

В проблема троюродного брата или мультипликативная задача Кузена предполагает, что каждое соотношение

${\displaystyle f_{i}/f_{j}}$

является ненулевой голоморфной функцией, где она определена. Он запрашивает мероморфную функцию ж на M такой, что

${\displaystyle f/f_{i}}$

голоморфна и отлична от нуля. Вторая проблема Кузена - это многомерное обобщение Теорема Вейерштрасса о существовании голоморфной функции одной переменной с заданными нулями.

Атака на эту проблему путем взятия логарифмы, чтобы свести его к аддитивной задаче, встречает препятствие в виде первого Черн класс (смотрите также последовательность экспоненциальных пучков ). С точки зрения теории пучков, пусть ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ - пучок голоморфных функций, которые никуда не обращаются, и ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}}$ пучок мероморфных функций, не равных тождественно нулю. Это оба пучка абелевы группы, а фактор-пучок ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ четко определено. Затем задача мультипликативного Кузена пытается идентифицировать образ факторной карты ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}).}$

Длинная последовательность когомологий точного пучка, связанная с фактором, есть

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

так что проблема троюродного брата разрешима во всех случаях при условии, что ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})=0.}$ Частный пучок ${\displaystyle \mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*}}$ это пучок ростков Делители Картье на M. Таким образом, вопрос о том, генерируется ли каждый глобальный раздел мероморфной функцией, эквивалентен определению того, каждый ли линейный пакет на M является банальный.

Группа когомологий ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*}),}$ для мультипликативной структуры на ${\displaystyle \mathbf {O} ^{*}}$ можно сравнить с группой когомологий ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )}$ с его аддитивной структурой путем логарифмирования. То есть существует точная последовательность пучков

${\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0}$

где крайний левый пучок - это локально постоянный пучок со слоем ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$. Препятствие к определению логарифма на уровне ЧАС¹ в ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, из длинной точной последовательности когомологий

${\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Когда M - многообразие Штейна, средняя стрелка - изоморфизм, поскольку ${\displaystyle H^{q}(M,\mathbf {O} )=0}$ для ${\displaystyle q>0}$ так что в этом случае необходимое и достаточное условие для всегда разрешимой задачи троюродного кузена состоит в том, что ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0.}$

Смотрите также

• Теоремы Картана A и B.

использованная литература

• Чирка, Э.М. (2001) [1994], "Кузен проблемы", Энциклопедия математики, EMS Press.
• Кузен, П. (1895 г.), "Sur les fonctions de п переменные " (PDF), Acta Math., 19: 1–62, Дои:10.1007 / BF02402869.
• Ганнинг, Роберт С.; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных, Prentice Hall.