Самолет Дена - Dehn plane - Wikipedia

В геометрия, Ден представил два примера самолетов: полуевклидова геометрия и нелегандровская геометрия, у которых есть бесконечно много прямых, параллельных данной, которые проходят через данную точку, но где сумма углов треугольника не менее π. Подобное явление происходит в гиперболическая геометрия, за исключением того, что сумма углов треугольника меньше, чем π. В примерах Дена используется неархимедово поле, так что Аксиома архимеда нарушается. Их представил Макс Ден  (1900 ) и обсуждались Гильберт (1902 г., pp. 127–130, или pp. 42–43 в некоторых более поздних изданиях).

Неархимедово поле Дена Ω (т)

Чтобы построить свою геометрию, Ден использовал неархимедов упорядоченный Пифагорейское поле Ω (т), а Пифагорейское замыкание поля рациональных функций р(т), состоящего из наименьшего поля действительных функций на действительной прямой, содержащего действительные константы, тождественная функция т (забирая себе любое действительное число) и закрывается при операции ${\textstyle \omega \mapsto {\sqrt {1+\omega ^{2}}}}$. Поле Ω (т) заказывается помещением Икс > у если функция Икс больше чем у для достаточно больших реалов. Элемент Икс области Ω (т) называется конечный если м < Икс < п для некоторых целых чисел м,п, и называется бесконечный иначе.

Полуевклидова геометрия Дена

Множество всех пар (Икс, у), куда Икс и у - любые (возможно, бесконечные) элементы поля Ω (т), и с обычным метрика

${\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

которая принимает значения в Ω (т), дает модель Евклидова геометрия. Постулат параллельности верен в этой модели, но если отклонение от перпендикуляра бесконечно мало (то есть меньше любого положительного рационального числа), пересекающиеся прямые пересекаются в точке, которая не находится в конечной части плоскости. Следовательно, если модель ограничена конечной частью плоскости (точки (Икс,у) с Икс и у конечный), получается геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, но сумма углов треугольника равна π. Это полуевклидова геометрия Дена. Это обсуждается в Ракер (1982), стр. 91–2).

Нелегандровская геометрия Дена

В той же статье Ден также построил пример нелегандровой геометрии, где есть бесконечно много прямых, проходящих через точку, не пересекающуюся с другой прямой, но сумма углов в треугольнике превышает π. Римана эллиптическая геометрия над Ω (т) состоит из проективной плоскости над Ω (т), которую можно отождествить с аффинной плоскостью точек (Икс:у: 1) вместе с «бесконечно удаленной линией» и обладает тем свойством, что сумма углов любого треугольника больше, чем π Нелегандрова геометрия состоит из точек (Икс:у: 1) этого аффинного подпространства такое, что tx и ты конечны (где, как указано выше т - элемент из Ω (т) представлен тождественной функцией). Теорема Лежандра утверждает, что сумма углов треугольника не более π, но предполагает аксиому Архимеда, а пример Дена показывает, что теорема Лежандра может не выполняться, если аксиома Архимеда отброшена.

Рекомендации

• Ден, Макс (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck", Mathematische Annalen, 53 (3): 404–439, Дои:10.1007 / BF01448980, ISSN  0025-5831, JFM  31.0471.01
• Гильберт, Дэвид (1902), Основы геометрии (PDF), The Open Court Publishing Co., Ла Саль, Иллинойс, МИСТЕР  0116216
• Ракер, Руди (1982), Бесконечность и разум. Наука и философия бесконечного, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN  3-7643-3034-1, МИСТЕР  0658492