Массив Рауса - это табличный метод позволяющий установить стабильность системы, использующей только коэффициенты характеристики многочлен. Центральное место в области проектирование систем управления, то Теорема Рауса – Гурвица и массив Рауса появляются с помощью Евклидов алгоритм и Теорема Штурма в оценке Индексы Коши.
Индекс Коши
Учитывая систему:
![{начало {выровнено} f (x) & {} = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {{n-1}} + cdots + a_ {n} & {} quad (1) & {} = (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) cdots (x-r_ {n}) & {} quad (2) end {align}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031962e686ca5e41b0daf82d2b4398b7d9731d2a)
Если не считать корней
лежать на воображаемой оси и позволяя
= Количество корней
с отрицательными реальными частями, и
= Количество корней
с положительными реальными частями
тогда у нас есть
![{displaystyle N + P = nquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d904e0cb9e2263e0f773c4c723f03adaba726c4)
Выражая
в полярной форме имеем
![{displaystyle f (x) = ho (x) e ^ {j heta (x)} quad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdb59e6c947a3e892aabe356c376ee5d7d9f986)
куда
![хо (х) = {sqrt {{mathfrak {Re}} ^ {2} [f (x)] + {mathfrak {Im}} ^ {2} [f (x)]}} quad (5)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3342273646dc0f1235561b387b7af52e776938a)
и
![heta (x) = an ^ {{- 1}} {ig (} {mathfrak {Im}} [f (x)] / {mathfrak {Re}} [f (x)] {ig)} quad (6)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b2086266668256c2065a93ae151bb2aba594d0)
из (2) заметим, что
![{displaystyle heta (x) = heta _ {r_ {1}} (x) + heta _ {r_ {2}} (x) + cdots + heta _ {r_ {n}} (x) quad (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7aafb9472eaab708803a048a11f5de2e2def68c)
куда
![{displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) = angle (x-r_ {i}) quad (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fca921583fd73d73dfecd4390d9495964816c1e)
Теперь, если яth корень
имеет положительную действительную часть, то (используя обозначение y = (RE [y], IM [y]))
![{displaystyle {egin {выровнено} heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = -jinfty} & = angle (x-r_ {i}) {ig |} _ {x = -jinfty } & = угол (0- {mathfrak {Re}} [r_ {i}], - infty - {mathfrak {Im}} [r_ {i}]) & = angle (- | {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, -infty) & = pi + lim _ {phi o infty} an ^ {- 1} phi = {frac {3pi} {2}} quad (9) end {align}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b5b7395910dafa111cef24840a04b6f678dde27)
и
![{displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = j0} = angle (- | {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, 0) = pi - an ^ { -1} 0 = число Пи (10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a52bccf4aeb16d032d5a102c1ae9bc8b6bcd1f)
и
![{displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = jinfty} = angle (- | {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, infty) = pi -lim _ { phi o infty} an ^ {- 1} phi = {frac {pi} {2}} quad (11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838372f37cf13c3c184a2477039b676104cb7a5f)
Аналогично, если ith корень
имеет отрицательную действительную часть,
![{displaystyle {egin {выровнено} heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = -jinfty} & = angle (x-r_ {i}) {ig |} _ {x = -jinfty } & = angle (0- {mathfrak {Re}} [r_ {i}], - infty - {mathfrak {Im}} [r_ {i}]) & = angle (| {mathfrak {Re}} [ r_ {i}] |, -infty) & = 0-lim _ {phi o infty} an ^ {1} phi = - {frac {pi} {2}} quad (12) end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb66015512b6985b691bd082240e95221662faa4)
и
![{displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = j0} = angle (| {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, 0) = an ^ {- 1} 0 = 0, четырехъядерный (13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0af975bb9b398ec5e8cf3b476787d1db575c52d)
и
![{displaystyle heta _ {r_ {i}} (x) {ig |} _ {x = jinfty} = angle (| {mathfrak {Re}} [r_ {i}] |, infty) = lim _ {phi o infty } an ^ {- 1} phi = {frac {pi} {2}}, quad (14)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec04aab88fc87619bb9b6771313b6b3e63ccb771)
Из (9) - (11) находим, что
когда яth корень
имеет положительную действительную часть, и из (12) - (14) находим, что
когда яth корень
имеет отрицательную действительную часть. Таким образом,
![{displaystyle heta (x) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} = angle (x-r_ {1}) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} + угол (x-r_ {2}) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} + cdots + angle (x-r_ {n}) {Big |} _ {x = -jinfty} ^ {x = jinfty} = pi N-pi Pquad (15)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beccb357aa3cdb84ee618468b7e6e968ffb3d5fe)
Итак, если мы определим
![{displaystyle Delta = {frac {1} {pi}} heta (x) {Big |} _ {- jinfty} ^ {jinfty} quad (16)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67e586838954a31638ff3cc082fa4fdc7439aa1)
тогда у нас есть отношения
![{displaystyle N-P = Дельта-четырехугольник (17)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36db190c39f879338a13522b99fd7c4e424fc70)
и объединение (3) и (17) дает нам
и ![{displaystyle P = {frac {n-Delta} {2}} quad (18)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d436997abba993f4a8bdc3b76c81414db4cca606)
Следовательно, учитывая уравнение
степени
нам нужно только оценить эту функцию
определить
, количество корней с отрицательными действительными частями и
, количество корней с положительными действительными частями.
![График θ относительно tan (θ)](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/38/Tan%28theta%29.jpg) |
Рисунок 1 |
против ![хета](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af) |
В соответствии с (6) и рис.1 график
против
, варьируя
на интервале (a, b), где
и
являются целыми числами, кратными
, эта вариация вызывает функцию
увеличиться на
, указывает на то, что при движении из точки а в точку б,
"выпрыгнул" из
к
еще раз, чем он прыгнул
к
. Аналогично, если мы изменим
на интервале (a, b) это изменение, вызывающее
уменьшиться на
, где снова
кратно
на обоих
и
, следует, что
прыгнул с
к
еще раз, чем он прыгнул
к
в качестве
варьировалась в указанном интервале.
Таким образом,
является
умноженная на разницу между количеством точек, в которых
прыгает из
к
и количество точек, в которых
прыгает из
к
в качестве
колеблется в интервале
при условии, что в
,
определено.
![График θ относительно −cotan (θ)](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/Cot%28theta%29.svg/257px-Cot%28theta%29.svg.png) |
фигура 2 |
против ![хета](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af) |
В случае, когда отправная точка несовместима (т.е.
, я = 0, 1, 2, ...) конечная точка также будет несовместима с уравнением (17) (поскольку
целое число и
целое число,
будет целым числом). В этом случае мы можем добиться того же показателя (разницы в положительных и отрицательных скачках), сдвинув оси касательной функции на
, добавив
к
. Таким образом, наш индекс теперь полностью определен для любой комбинации коэффициентов в
оценивая
на интервале (a, b) =
когда наша начальная (и, следовательно, конечная) точка не является несоответствием, и оценивая
![{displaystyle an [heta '(x)] = an [heta + pi / 2] = - cot [heta (x)] = - {mathfrak {Re}} [f (x)] / {mathfrak {Im}} [ f (x)] quad (19)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e718d1233f9c08d6cb4344dae637f97bc9804db)
в течение указанного интервала, когда наша отправная точка несовместима.
Эта разница,
, отрицательных и положительных несоответствий прыжков, обнаруженных при пересечении
из
к
называется индексом Коши тангенса фазового угла, причем фазовый угол равен
или же
, в зависимости от
является целым числом, кратным
или нет.
Критерий Рауса
Чтобы вывести критерий Рауса, сначала мы будем использовать другую нотацию, чтобы различать четные и нечетные члены
:
![{displaystyle f (x) = a_ {0} x ^ {n} + b_ {0} x ^ {n-1} + a_ {1} x ^ {n-2} + b_ {1} x ^ {n- 3} + cdots quad (20)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/effc41deb942516e929fb36a215eaf1c1c51afe3)
Теперь у нас есть:
![{displaystyle {egin {align} f (jomega) & = a_ {0} (jomega) ^ {n} + b_ {0} (jomega) ^ {n-1} + a_ {1} (jomega) ^ {n- 2} + b_ {1} (джомега) ^ {n-3} + cdots & {} quad (21) & = a_ {0} (jomega) ^ {n} + a_ {1} (jomega) ^ {n -2} + a_ {2} (джомега) ^ {n-4} + cdots & {} quad (22) & + b_ {0} (jomega) ^ {n-1} + b_ {1} (джомега) ^ {n-3} + b_ {2} (джомега) ^ {n-5} + cdots end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba25664b50fe5e6ca5719d65fb9a75b1f6bc892)
Следовательно, если
даже,
![{displaystyle {egin {выравнивается} f (jomega) & = (- 1) ^ {n / 2} {ig [} a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n-2} + a_ {2} omega ^ {n-4} -cdots {ig]} & {} quad (23) & + j (-1) ^ {(n / 2) -1} {ig [} b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} омега ^ {n-3} + b_ {2} омега ^ {n-5} -cdots {ig]} & {} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e495902015ba0b7f57501e6d3d82ee9ab5ef62a)
и если
странно:
![{displaystyle {egin {align} f (jomega) & = j (-1) ^ {(n-1) / 2} {ig [} a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n -2} + a_ {2} omega ^ {n-4} -cdots {ig]} & {} quad (24) & + (- 1) ^ {(n-1) / 2} {ig [} b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + b_ {2} omega ^ {n-5} -cdots {ig]} & {} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2031e504dd4c89445e158080035a39a2e0e17c2b)
Теперь заметьте, что если
- целое нечетное число, то по (3)
странно. Если
- нечетное целое число, тогда
тоже странно. Точно так же этот же аргумент показывает, что когда
даже,
будет даже. Уравнение (15) показывает, что если
даже,
является целым числом, кратным
. Следовательно,
определяется для
четный, и, таким образом, правильный индекс для использования, когда n четно, и аналогично
определяется для
odd, что делает его правильным индексом в последнем случае.
Таким образом, из (6) и (23) при
четное:
![{displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {- {mathfrak {Im}} [f (x)]} {{mathfrak {Re}} [f (x)]}} = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + cdots} {a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1 } омега ^ {n-2} + ldots}} quad (25)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9829781584a0ac5eac8c828f3b075583bb496da)
а из (19) и (24) для
странный:
![{displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {{mathfrak {Re}} [f (x)]} {{mathfrak {Im}} [f (x)]}} = I _ {- infty } ^ {+ infty} {frac {b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + ldots} {a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} омега ^ {n-2} + ldots}} quad (26)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8786a9be2f8a0f8cff61b436453fa922966c5d)
И вот, мы оцениваем один и тот же индекс Коши для обоих:
![{displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {b_ {0} omega ^ {n-1} -b_ {1} omega ^ {n-3} + ldots} {a_ {0} omega ^ {n} -a_ {1} omega ^ {n-2} + ldots}} quad (27)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faed86e2d8e64c54443964c49e381e0663699e46)
Теорема Штурма
Штурм дает нам метод оценки
. Его теорема гласит следующее:
Дана последовательность многочленов
куда:
1) Если
тогда
,
, и ![{displaystyle operatorname {sign} [f_ {k-1} (x)] = - operatorname {sign} [f_ {k + 1} (x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a866748052776183bc0b2820b98b37558342d6a5)
2)
за ![{displaystyle -infty <x <infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfcfd777298df7ef46c75fab394e644d5fbafe1)
и мы определяем
как количество смен знака в последовательности
за фиксированное значение
, тогда:
![{displaystyle Delta = I _ {- infty} ^ {+ infty} {frac {f_ {2} (x)} {f_ {1} (x)}} = V (-infty) -V (+ infty) quad (28 )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c9031e4f629e0b85e0518f32d581d53b966dd0)
Последовательность, удовлетворяющая этим требованиям, получается с помощью Евклидов алгоритм, который выглядит следующим образом:
Начиная с
и
, и обозначая оставшуюся часть
к
и аналогично обозначая оставшуюся часть
к
, и так далее, получаем соотношения:
![{displaystyle {egin {выровнено} & f_ {1} (x) = q_ {1} (x) f_ {2} (x) -f_ {3} (x) quad (29) & f_ {2} (x) = q_ {2} (x) f_ {3} (x) -f_ {4} (x) & ldots & f_ {m-1} (x) = q_ {m-1} (x) f_ {m} (x ) конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7baddf6092749e67a484573b59bd173cc07afde)
или вообще
![{displaystyle f_ {k-1} (x) = q_ {k-1} (x) f_ {k} (x) -f_ {k + 1} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fab5cc4ec4e4a4e247f486ead109b8d9f5c4ad)
где последний ненулевой остаток,
поэтому будет наивысшим общим фактором
. Можно заметить, что построенная таким образом последовательность будет удовлетворять условиям теоремы Штурма, и, таким образом, был разработан алгоритм для определения указанного индекса.
Именно при применении теоремы Штурма (28) к (29) с использованием описанного выше алгоритма Евклида формируется матрица Рауса.
Мы получили
![{displaystyle f_ {3} (omega) = {frac {a_ {0}} {b_ {0}}} f_ {2} (omega) -f_ {1} (omega) quad (30)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c003541395f2b235c6c13815d097c7509c2c4c)
и идентифицируя коэффициенты этого остатка как
,
,
,
и т. д. делает наш сформированный остаток
![{displaystyle f_ {3} (omega) = c_ {0} omega ^ {n-2} -c_ {1} omega ^ {n-4} + c_ {2} omega ^ {n-6} -cdots quad (31 )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e40b96f33dfacd70d0e17f5932b7b8d2a14cea6)
куда
![{displaystyle c_ {0} = a_ {1} - {frac {a_ {0}} {b_ {0}}} b_ {1} = {frac {b_ {0} a_ {1} -a_ {1} b_ { 0}} {b_ {0}}}; c_ {1} = a_ {2} - {frac {a_ {0}} {b_ {0}}} b_ {2} = {frac {b_ {0} a_ { 2} -a_ {0} b_ {2}} {b_ {0}}}; ldots quad (32)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2d33e5992aec947fcaf26bb736c4cff9a633bf)
Продолжение алгоритма Евклида с этими новыми коэффициентами дает нам
![{displaystyle f_ {4} (omega) = {frac {b_ {0}} {c_ {0}}} f_ {3} (omega) -f_ {2} (omega) quad (33)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2627bdd1336fd78a447cdbf399ebd1e2c1fa15ec)
где мы снова обозначаем коэффициенты при остатке
к
,
,
,
,
делая наш сформированный остаток
![{displaystyle f_ {4} (omega) = d_ {0} omega ^ {n-3} -d_ {1} omega ^ {n-5} + d_ {2} omega ^ {n-7} -cdots quad (34 )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e3d4a3edd85765679b4ee75c632d9d9e170737)
и давая нам
![{displaystyle d_ {0} = b_ {1} - {frac {b_ {0}} {c_ {0}}} c_ {1} = {frac {c_ {0} b_ {1} -b_ {1} c_ {1} c_ { 0}} {c_ {0}}}; d_ {1} = b_ {2} - {frac {b_ {0}} {c_ {0}}} c_ {2} = {frac {c_ {0} b_ { 2} -b_ {0} c_ {2}} {c_ {0}}}; ldots quad (35)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de4c49293bab6415e4b18b7158b0a3bd2534771)
Строки массива Рауса определяются именно этим алгоритмом при применении к коэффициентам (20). Следует отметить, что в обычном случае многочлены
и
иметь как высший общий фактор
и таким образом будет
многочлены в цепочке
.
Заметим теперь, что при определении знаков членов последовательности многочленов
что в
доминирующая сила
будет первым членом каждого из этих многочленов, и, следовательно, только те коэффициенты, соответствующие старшим степеням
в
, и
, которые
,
,
,
, ... определить признаки
,
, ...,
в
.
Итак, мы получаем
то есть,
количество смен знака в последовательности
,
,
, ... количество смен знака в последовательности
,
,
,
, ... и
; то есть
количество смен знака в последовательности
,
,
, ... количество смен знака в последовательности
,
,
,
, ...
Поскольку наша сеть
,
,
,
, ... буду иметь
члены ясно, что
поскольку внутри
если идет от
к
изменение знака не произошло, в пределах
идущий от
к
один имеет, и так же для всех
переходов (не будет членов, равных нулю), дающие нам
общее изменение знака.
В качестве
и
, а из (18)
у нас есть это
и получили теорему Рауса -
Количество корней действительного многочлена
лежащие в правой полуплоскости
равно количеству смен знака в первом столбце схемы Рауса.
И для стабильного случая, когда
тогда
по которому мы имеем знаменитый критерий Рауса:
Чтобы все корни многочлена
чтобы иметь отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все элементы в первом столбце схемы Рауса были отличны от нуля и имели одинаковый знак.
Рекомендации
- Гурвиц, А., "Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями", Rpt. в избранных статьях по математическим направлениям теории управления / Под ред. R. T. Ballman et al. Нью-Йорк: Дувр 1964
- Раус Э. Дж. Трактат об устойчивости данного состояния движения. Лондон: Macmillan, 1877. Rpt. в области устойчивости движения / Под ред. А. Т. Фуллер. Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1975
- Феликс Гантмахер (Переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959) Приложения теории матриц, стр 177–80, Нью-Йорк: Interscience.