Размерная регуляризация - Dimensional regularization

В теоретическая физика, размерная регуляризация это метод, введенный Джамбиаги и Боллини^[1] а также - самостоятельно и комплексно^[2] - к 'т Хофт и Вельтман^[3] за регуляризация интегралы в оценке Диаграммы Фейнмана; другими словами, присвоение им значений, которые мероморфные функции сложного параметра d, аналитическое продолжение ряда измерений пространства-времени.

Размерная регуляризация записывает Интеграл Фейнмана как интеграл, зависящий от размерности пространства-времени d и квадраты расстояний (Икс_я−Икс_j)² точек пространства-времени Икс_я, ... появляясь в нем. В Евклидово пространство, интеграл часто сходится при −Re (d) достаточно большой и может быть аналитически продолжение из этой области в мероморфную функцию, определенную для всех сложных d. В общем, будет полюс с физической величиной (обычно 4) d, который нужно отменить перенормировка для получения физических величин.Этингоф (1999) показал, что размерная регуляризация математически корректно определена, по крайней мере, в случае массивных евклидовых полей, с помощью Полином Бернштейна – Сато провести аналитическое продолжение.

Хотя этот метод лучше всего понять, когда полюса вычитаются и d снова заменяется на 4, это также привело к некоторым успехам, когда d используется для приближения к другому целочисленному значению, где теория кажется сильно связанной, как в случае Фиксированная точка Вильсона – Фишера. Еще один шаг - серьезно отнестись к интерполяции через дробные измерения. Это побудило некоторых авторов предположить, что размерную регуляризацию можно использовать для изучения физики кристаллов, которые макроскопически кажутся фракталы.^[4]

Если кто-то хочет вычислить петлевой интеграл, который логарифмически расходится в четырех измерениях, например

{ displaystyle int { frac {d ^ {d} p} {(2 pi) ^ {d}}} { frac {1} { left (p ^ {2} + m ^ {2} справа) ^ {2}}},}

сначала нужно каким-то образом переписать интеграл так, чтобы число интегрируемых переменных не зависело от d, а затем формально варьируем параметр d, чтобы включить нецелые значения, такие как d = 4 − ε.

Это дает

{ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {dp} {(2 pi) ^ {4- varepsilon}}} { frac {2 pi ^ {(4- varepsilon) / 2}} { Gamma left ({ frac {4- varepsilon} {2}} right)}} { frac {p ^ {3- varepsilon}} { left (p ^ {2} + m ^ {2} right) ^ {2}}} = { frac {2 ^ { varepsilon -4} pi ^ {{ frac { varepsilon} {2}} - 1}} { sin left ({ frac { pi varepsilon} {2}} right) Gamma left (1 - { frac { varepsilon} {2}} right)}} m ^ {- varepsilon} = { frac {1} {8 pi ^ {2} varepsilon}} - { frac {1} {16 pi ^ {2}}} left ( ln { frac {m ^ {2}} {4 pi}} + gamma right) + { mathcal {O}} ( varepsilon).}

Утверждалось, что Зета регуляризация и размерная регуляризация эквивалентны, поскольку они используют один и тот же принцип использования аналитического продолжения для сходимости ряда или интеграла.^[5]

Примечания

^ Боллини 1972, стр. 20.
^ Битенхольц, Вольфганг; Прадо, Лилиан (01.02.2014). «Революционная физика в реакционной Аргентине». Физика сегодня. 67 (2): 38–43. Bibcode:2014ФТ .... 67б..38Б. Дои:10.1063 / PT.3.2277. ISSN 0031-9228.
^ Hooft, G. 't; Вельтман М. (1972), "Регуляризация и перенормировка калибровочных полей", Ядерная физика B, 44 (1): 189–213, Bibcode:1972НуФБ..44..189Т, Дои:10.1016/0550-3213(72)90279-9, HDL:1874/4845, ISSN 0550-3213
^ Le Guillo, J.C .; Зинн-Джастин, Дж. (1987). «Точные критические показатели для систем типа Изинга в нецелочисленных измерениях». Journal de Physique. 48.
^ А. Быценко, Г. Коньола, Э. Элизальде, В. Моретти и С. Зербини, Аналитические аспекты квантового поля , World Scientific Publishing, 2003 г., ISBN 981-238-364-6

Размерная регуляризация - Dimensional regularization

Примечания

Рекомендации