Дирак сопряженный - Dirac adjoint

В квантовая теория поля, то Дирак сопряженный определяет двойной работа Спинор Дирака. Сопряженный Дирака мотивирован необходимостью формировать из спиноров Дирака измеримые величины с хорошим поведением, заменяя обычную роль Эрмитово сопряженный.

Возможно, чтобы избежать путаницы с обычным Эрмитово сопряженный, в некоторых учебниках не дается название сопряженного по Дираку, а просто называется "ψ-бар".

Определение

Позволять ${\displaystyle \psi }$ быть Спинор Дирака. Тогда его дираковский сопряженный определяется как

${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

где ${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$ обозначает Эрмитово сопряженный спинора ${\displaystyle \psi }$, и ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ похоже на время гамма-матрица.

Спиноры при преобразованиях Лоренца.

В Группа Лоренца из специальная теория относительности не является компактный, следовательно спинор представления из Преобразования Лоренца обычно не унитарный. То есть, если ${\displaystyle \lambda }$ это проективное представление некоторого преобразования Лоренца,

${\displaystyle \psi \mapsto \lambda \psi }$,

тогда вообще

${\displaystyle \lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}}$.

Эрмитово сопряжение спинора преобразуется согласно

${\displaystyle \psi ^{\dagger }\mapsto \psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }}$.

Следовательно, ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ это не Скаляр Лоренца и ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\gamma ^{\mu }\psi }$ даже не Эрмитский.

Дирак, напротив, сопоставляет преобразование по

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto \left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}}$.

Используя личность ${\displaystyle \gamma ^{0}\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}=\lambda ^{-1}}$, преобразование сводится к

${\displaystyle {\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}\lambda ^{-1}}$,

Таким образом, ${\displaystyle {\bar {\psi }}\psi }$ преобразуется как скаляр Лоренца и ${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$ как четырехвекторный.

Применение

Используя присоединение Дирака, вероятность четырехтокового J для поля частиц со спином 1/2 можно записать как

${\displaystyle J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

где c скорость света и составляющие J представляют собой плотность вероятности ρ и вероятность 3-ток j:

${\displaystyle {\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})}$.

Принимая μ = 0 и используя соотношение для гамма-матрицы

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I}$,

плотность вероятности становится

${\displaystyle \rho =\psi ^{\dagger }\psi }$.

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Рариты – Швингера

использованная литература

• Б. Брансден и К. Иоахейн (2000). Квантовая механика, 2д, Пирсон. ISBN  0-582-35691-1.
• М. Пескин и Д. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля, Westview Press. ISBN  0-201-50397-2.
• А. Зи (2003). Квантовая теория поля в двух словах, Princeton University Press. ISBN  0-691-01019-6.