Расстояние от точки до плоскости - Distance from a point to a plane

В Евклидово пространство, то расстояние от точки до плоскости - расстояние между данной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскость или ближайшей точкой на плоскости.

Его можно найти, начиная с замена переменных который перемещает начало координат, чтобы оно совпало с данной точкой, а затем находит точку на смещенной самолет ${displaystyle ax+by+cz=d}$ что ближе всего к источник. Полученная точка имеет Декартовы координаты ${displaystyle (x,y,z)}$:

${displaystyle displaystyle x={frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},quad quad displaystyle y={frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},quad quad displaystyle z={frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

Расстояние между началом координат и точкой ${displaystyle (x,y,z)}$ является ${displaystyle {sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

Преобразование общей проблемы в проблему расстояния от источника

Предположим, мы хотим найти ближайшую точку на плоскости к точке (${displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$), где плоскость задается формулой ${displaystyle aX+bY+cZ=D}$. Мы определяем ${displaystyle x=X-X_{0}}$, ${displaystyle y=Y-Y_{0}}$, ${displaystyle z=Z-Z_{0}}$, и ${displaystyle d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}}$, чтобы получить ${displaystyle ax+by+cz=d}$ как плоскость, выраженную через преобразованные переменные. Теперь проблема заключается в нахождении ближайшей точки на этой плоскости к исходной точке и ее расстояния от начала координат. Точку на плоскости с точки зрения исходных координат можно найти из этой точки, используя приведенные выше отношения между ${displaystyle x}$ и ${displaystyle X}$, между ${displaystyle y}$ и ${displaystyle Y}$, и между ${displaystyle z}$ и ${displaystyle Z}$; расстояние в исходных координатах такое же, как расстояние в пересмотренных координатах.

Переформулировка с использованием линейной алгебры

Формулу для ближайшей к началу координат точки можно выразить более кратко, используя обозначения из линейная алгебра. Выражение ${displaystyle ax+by+cz}$ в определении плоскости является скалярное произведение ${displaystyle (a,b,c)cdot (x,y,z)}$, а выражение ${displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ в решении появляется квадрат норма ${displaystyle |(a,b,c)|^{2}}$. Таким образом, если ${displaystyle mathbf {v} =(a,b,c)}$ - заданный вектор, плоскость может быть описана как набор векторов ${displaystyle mathbf {w} }$ для которого ${displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {w} =d}$ а ближайшая точка на этой плоскости - вектор

${displaystyle mathbf {p} ={frac {mathbf {v} d}{|mathbf {v} |^{2}}}}$.^[1][2]

В Евклидово расстояние от начала координат до плоскости - норма этой точки,

${displaystyle {frac {|d|}{|mathbf {v} |}}={frac {|d|}{sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

Почему это ближайшая точка

В координатной или векторной формулировках можно проверить, что данная точка лежит на данной плоскости, подставив точку в уравнение плоскости.

Чтобы увидеть, что это ближайшая точка к началу координат на плоскости, обратите внимание, что ${displaystyle mathbf {p} }$ является скалярным кратным вектора ${displaystyle mathbf {v} }$ определяющий плоскость, и поэтому ортогонален плоскости. Таким образом, если ${displaystyle mathbf {q} }$ любая точка на плоскости, кроме ${displaystyle mathbf {p} }$ сам, то отрезки линии от начала до ${displaystyle mathbf {p} }$ и из ${displaystyle mathbf {p} }$ к ${displaystyle mathbf {q} }$ сформировать прямоугольный треугольник, и теорема Пифагора расстояние от начала координат до ${displaystyle q}$ является

${displaystyle {sqrt {|mathbf {p} |^{2}+|mathbf {p} -mathbf {q} |^{2}}}}$.

С ${displaystyle |mathbf {p} -mathbf {q} |^{2}}$ должно быть положительным числом, это расстояние больше, чем ${displaystyle |mathbf {p} |}$, расстояние от начала координат до ${displaystyle mathbf {p} }$.^[2]

В качестве альтернативы можно переписать уравнение плоскости, используя точечные произведения с ${displaystyle mathbf {p} }$ вместо исходного скалярного произведения с ${displaystyle mathbf {v} }$ (поскольку эти два вектора являются скалярными кратными друг другу), после чего тот факт, что ${displaystyle mathbf {p} }$ ближайшая точка становится непосредственным следствием Неравенство Коши – Шварца.^[1]

Ближайшая точка и расстояние для гиперплоскости и произвольной точки

Векторное уравнение для гиперплоскость в ${displaystyle n}$-размерный Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ через точку ${displaystyle mathbf {p} }$ с нормальным вектором ${displaystyle mathbf {a} eq mathbf {0} }$ является ${displaystyle (mathbf {x} -mathbf {p} )cdot mathbf {a} =0}$ или же ${displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {a} =d}$ куда ${displaystyle d=mathbf {p} cdot mathbf {a} }$.^[3]Соответствующая декартова форма ${displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}=d}$ куда ${displaystyle d=mathbf {p} cdot mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+cdots a_{n}p_{n}}$.^[3]

Ближайшая точка на этой гиперплоскости к произвольной точке ${displaystyle mathbf {y} }$ является

${displaystyle mathbf {x} =mathbf {y} -left[{dfrac {(mathbf {y} -mathbf {p} )cdot mathbf {a} }{mathbf {a} cdot mathbf {a} }}ight]mathbf {a} =mathbf {y} -left[{dfrac {mathbf {y} cdot mathbf {a} -d}{mathbf {a} cdot mathbf {a} }}ight]mathbf {a} }$

и расстояние от ${displaystyle mathbf {y} }$ к гиперплоскости

${displaystyle left|mathbf {x} -mathbf {y} ight|=left|left[{dfrac {(mathbf {y} -mathbf {p} )cdot mathbf {a} }{mathbf {a} cdot mathbf {a} }}ight]mathbf {a} ight|={dfrac {left|(mathbf {y} -mathbf {p} )cdot mathbf {a} ight|}{left|mathbf {a} ight|}}={dfrac {left|mathbf {y} cdot mathbf {a} -dight|}{left|mathbf {a} ight|}}}$.^[3]

В декартовой форме ближайшая точка дается выражением ${displaystyle x_{i}=y_{i}-ka_{i}}$ за ${displaystyle 1leq ileq n}$ куда

${displaystyle k={dfrac {mathbf {y} cdot mathbf {a} -d}{mathbf {a} cdot mathbf {a} }}={dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots a_{n}^{2}}}}$,

и расстояние от ${displaystyle mathbf {y} }$ к гиперплоскости

${displaystyle {dfrac {left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+cdots a_{n}y_{n}-dight|}{sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots a_{n}^{2}}}}}$.

Таким образом, в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ точка на плоскости ${displaystyle ax+by+cz=d}$ ближайший к произвольной точке ${displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ является ${displaystyle (x,y,z)}$ данный

${displaystyle left.{egin{array}{l}x=x_{1}-kay=y_{1}-kbz=z_{1}-kcend{array}}ight}}$

куда

${displaystyle k={dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$,

а расстояние от точки до плоскости равно

${displaystyle {dfrac {left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}-dight|}{sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$.

Смотрите также

• Расстояние от точки до линии
• Нормальная форма Гессена
• Наклонные линии # Расстояние

Рекомендации

1. Стрэнг, Гилберт; Борре, Кай (1997), Линейная алгебра, геодезия и GPS, SIAM, стр. 22–23, ISBN  9780961408862.
2. Шифрин, Тед; Адамс, Малкольм (2010), Линейная алгебра: геометрический подход (2-е изд.), Macmillan, p. 32, ISBN  9781429215213.
3. Чейни, Уорд; Кинкейд, Дэвид (2010). Линейная алгебра: теория и приложения. Издательство "Джонс и Бартлетт". С. 450, 451. ISBN  9781449613525.