Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях - Erdős conjecture on arithmetic progressions

Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях, часто называемый Гипотеза Эрдеша – Турана, это догадка в арифметическая комбинаторика (не путать с Гипотеза Эрдеша – Турана об аддитивных основаниях ). В нем говорится, что если сумма обратных значений членов набора А натуральных чисел расходится, то А содержит произвольно длинный арифметические прогрессии.

Формально гипотеза утверждает, что если А это большой набор в том смысле, что

${displaystyle sum _{nin A}{frac {1}{n}} = infty ,}$

тогда А содержит арифметические прогрессии любой заданной длины, что означает подмножества формы ${displaystyle {a,a{+}c,a{+}2c,ldots ,a{+}kc}subset A}$ для сколь угодно большого k.

История

В 1936 году Эрдеш и Туран выдвинули более слабую гипотезу о том, что любой набор целых чисел с положительными естественная плотность содержит бесконечно много трехчленных арифметических прогрессий.^[1] Это было доказано Клаус Рот в 1952 г. и обобщены на произвольно длинные арифметические прогрессии Семереди в 1975 году на территории, ныне известной как Теорема Семереди.

В беседе 1976 года под названием «Памяти моего давнего друга и сотрудника Пола Турана», Пол Эрдёш предложил приз в размере 3000 долларов США за доказательство этой гипотезы.^[2] По состоянию на 2008 год проблема стоит 5000 долларов США.^[3]

Прогресс и связанные результаты

Нерешенная проблема в математике: Содержит ли каждый большой набор натуральных чисел произвольно длинные арифметические прогрессии? (больше нерешенных задач по математике)

Гипотезу Эрдеша об арифметических прогрессиях можно рассматривать как более сильную версию теоремы Семереди. Поскольку сумма обратных простых чисел расходится, Теорема Грина – Тао об арифметических прогрессиях - частный случай гипотезы.

В более слабое требование который А должен содержать бесконечно много арифметических прогрессий длины 3, является следствием улучшенной оценки в теореме Рота, которая появляется в качестве основного результата в препринте 2020 года Блума и Сисаска.^[4] Первая сильнейшая оценка в теореме Рота принадлежит Блуму.^[5]

Смотрите также

• Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
• Список сумм обратных величин

Рекомендации

1. Эрдеш, Пол; Туран, Пол (1936), «О некоторых последовательностях целых чисел» (PDF), Журнал Лондонского математического общества, 11 (4): 261–264, Дои:10.1112 / jlms / s1-11.4.261.
2. Проблемы теории чисел и комбинаторики, in Proceedings of the Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), Конгресс. Нумер. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977
3. п. 354, Сойфер, Александр (2008); Математическая книжка-раскраска: математика раскраски и красочная жизнь ее создателей; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-74640-1
4. Блум, Томас Ф .; Сисаск, Олоф (2020). «Преодоление логарифмического барьера в теореме Рота об арифметических прогрессиях». arXiv:2007.03528.
5. Блум, Томас Ф. (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества. Вторая серия. 93 (3): 643–663. arXiv:1405.5800. Дои:10.1112 / jlms / jdw010. МИСТЕР  3509957.

• П. Эрдёш: Результаты и проблемы в теории чисел, Семинэр Деланж-Пизо-Пуату (14 лет: 1972/1973), Теория номеров, Fasc 2., Exp. № 24, с. 7,
• П. Эрдеш и П. Туран, О некоторых последовательностях целых чисел, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• П. Эрдеш: Проблемы теории чисел и комбинаторики, Proc. Шестая Манитобская конференция. по ном. Математика, Конгресс Нумер. XVIII(1977), 35–58.
• П. Эрдеш: О комбинаторных задачах, которые я бы больше всего хотел видеть решенными, Комбинаторика, 1(1981), 28. Дои:10.1007 / BF02579174

внешняя ссылка

• Гипотеза Эрдеша – Турана или гипотеза Эрдеша? на MathOverflow