Теорема построения волоконного пучка - Fiber bundle construction theorem

В математика, то Теорема построения расслоений это теорема который строит пучок волокон из заданного базового пространства, волокна и подходящего набора функции перехода. Теорема также дает условия, при которых два таких пучка изоморфный. Теорема важна для связанный пакет конструкция, в которой один начинает с заданного пучка и хирургическим путем заменяет волокно новым пространством, сохраняя при этом все остальные данные.

Официальное заявление

Позволять Икс и F быть топологические пространства и разреши г быть топологическая группа с непрерывное левое действие на F. Учитывая открытая крышка {U_я} из Икс и набор непрерывные функции

${displaystyle t_{ij}:U_{i}cap U_{j} o G}$

определены на каждом непустом перекрытии, так что состояние коцикла

${displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)qquad forall xin U_{i}cap U_{j}cap U_{k}}$

существует расслоение E → Икс с волокном F и структурная группа г которое тривиализуемо над {U_я} с функциями перехода т_ij.

Позволять E′ - другое расслоение с тем же базовым пространством, слоем, структурной группой и тривиализирующими окрестностями, но с функциями перехода т′_ij. Если действие г на F является верный, тогда E' и E изоморфны если и только если существуют функции

${displaystyle t_{i}:U_{i} o G}$

такой, что

${displaystyle t'_{ij}(x)=t_{i}(x)^{-1}t_{ij}(x)t_{j}(x)qquad forall xin U_{i}cap U_{j}.}$

Принимая т_я быть постоянными функциями к тождеству в г, мы видим, что два расслоения с одной и той же базой, слоем, структурной группой, тривиализирующими окрестностями и функциями перехода изоморфны.

Аналогичная теорема верна в гладкой категории, где Икс и Y находятся гладкие многообразия, г это Группа Ли с плавным левым действием на Y и карты т_ij все гладкие.

строительство

Доказательство теоремы конструктивный. То есть он фактически создает пучок волокон с заданными свойствами. Начнем с того, что несвязный союз из пространства продуктов U_я × F

${displaystyle T=coprod _{iin I}U_{i} imes F={(i,x,y):iin I,xin U_{i},yin F}}$

а затем формирует частное посредством отношение эквивалентности

${displaystyle (j,x,y)sim (i,x,t_{ij}(x)cdot y)qquad forall xin U_{i}cap U_{j},yin F.}$

Общая площадь E комплекта Т/ ~ и проекция π: E → Икс - это карта, которая посылает класс эквивалентности (я, Икс, у) к Икс. Локальные тривиализации

${displaystyle phi _{i}:pi ^{-1}(U_{i}) o U_{i} imes F}$

тогда определяются как

${displaystyle phi _{i}^{-1}(x,y)=[(i,x,y)].}$

Связанный пакет

Позволять E → Икс пучок волокон с волокном F и структурная группа г, и разреши F'Быть другим левым г-Космос. Можно сформировать связанный пучок E′ → Икс с волокном F′ И структурная группа г взяв любую локальную тривиализацию E и замена F к F′ В строительной теореме. Если взять F' быть г с действием умножения слева, то получаем соответствующий основной пакет.

Рекомендации

• Шарп, Р. У. (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94732-9.
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00548-6. См. Часть I, §2.10 и §3.