Конечный оператор - Finite-rank operator

В функциональный анализ, раздел математики, оператор конечного ранга это ограниченный линейный оператор между Банаховы пространства чей классифицировать конечномерна.

Операторы конечного ранга в гильбертовом пространстве

Каноническая форма

Операторы конечного ранга - это матрицы (конечного размера), перенесенные в бесконечномерную среду. Таким образом, эти операторы могут быть описаны с помощью методов линейной алгебры.

Из линейной алгебры мы знаем, что прямоугольная матрица с комплексными элементами M ∈ C^{п × м} имеет ранг 1 тогда и только тогда, когда M имеет форму

${displaystyle M=alpha cdot uv^{*},quad {mbox{where}}quad |u|=|v|=1quad {mbox{and}}quad alpha geq 0.}$

Точно такой же аргумент показывает, что оператор Т в гильбертовом пространстве ЧАС имеет ранг 1 тогда и только тогда, когда

${displaystyle Th=alpha langle h,vangle uquad {mbox{for all}}quad hin H,}$

где условия на α, ты, и v такие же, как и в конечномерном случае.

Поэтому по индукции оператор Т конечного ранга п принимает форму

${displaystyle Th=sum _{i=1}^{n}alpha _{i}langle h,v_{i}angle u_{i}quad {mbox{for all}}quad hin H,}$

куда {ты_я} и {v_я} являются ортонормированными основаниями. Обратите внимание, что это, по сути, повторение разложение по сингулярным числам. Можно сказать, что это каноническая форма операторов конечного ранга.

Слегка обобщая, если п теперь счетно бесконечна и последовательность положительных чисел {α_я} накапливаются только в 0, Т тогда компактный оператор, и один имеет канонический вид для компактных операторов.

Если ряд ∑_я α_я сходится, Т это класс трассировки оператор.

Алгебраическое свойство

Семейство операторов конечного ранга F(ЧАС) в гильбертовом пространстве ЧАС образуют двусторонний * -идеал в L(ЧАС) алгебра ограниченных операторов на ЧАС. Фактически это минимальный элемент среди таких идеалов, т. Е. Любой двусторонний * -идеал. я в L(ЧАС) должен содержать операторы конечного ранга. Это несложно доказать. Возьмем ненулевой оператор Т ∈ я, тогда Tf = грамм для некоторых f, g ≠ 0. Этого достаточно для любого h, k ∈ ЧАС, оператор ранга 1 S_{h, k} что отображает час к k лежит в я. Определять S_{h, f} быть оператором ранга 1, отображающим час к ж, и S_{г, к} аналогично. потом

${displaystyle S_{h,k}=S_{g,k}TS_{h,f},,}$

что значит S_{h, k} в я и это подтверждает заявление.

Некоторые примеры двусторонних * -идеалов в L(ЧАС) являются класс трассировки, Операторы Гильберта – Шмидта, и компактные операторы. F(ЧАС) плотно во всех трех этих идеалах в их соответствующих нормах.

Поскольку любой двусторонний идеал в L(ЧАС) должен содержать F(ЧАС), алгебра L(ЧАС) является просто тогда и только тогда, когда оно конечномерно.

Операторы конечного ранга в банаховом пространстве

Оператор конечного ранга ${displaystyle T:U o V}$ между Банаховы пространства это ограниченный оператор так что его классифицировать конечномерно. Как и в случае гильбертова пространства, его можно записать в виде

${displaystyle Th=sum _{i=1}^{n}alpha _{i}langle h,v_{i}angle u_{i}quad {mbox{for all}}quad hin U,}$

где сейчас ${displaystyle u_{i}in V}$, и ${displaystyle v_{i}in U'}$ - линейные ограниченные функционалы на пространстве ${displaystyle U}$.

Ограниченный линейный функционал - это частный случай оператора конечного ранга, а именно ранга один.