Аукцион первой цены с запечатанными предложениями - First-price sealed-bid auction

А аукцион первой цены с закрытой ставкой (FPSBA) это распространенный тип аукцион. Он также известен как слепой аукцион.^[1] В этом типе аукциона все участники торгов одновременно подают запечатанные предложения, так что ни один участник торгов не знает цену любого другого участника. Участник, предложивший самую высокую цену, платит заявленную цену.^[2]:p2[3]

Стратегический анализ

В FPSBA каждый участник торгов характеризуется своей денежной оценкой выставляемого на продажу предмета.

Предположим, что Алиса участвует в торгах, и ее оценка а. Затем, если Алиса рациональна:

• Она никогда не предложит больше, чем а, потому что ставка больше, чем а может только заставить ее потерять чистую стоимость.
• Если она сделает ставку точно а, тогда она не проиграет, но и не получит положительного значения.
• Если она предложит меньше, чем а, потом она май имеют некоторую положительную прибыль, но точная прибыль зависит от ставок других.

Алиса хотела бы предложить наименьшую сумму, которая может заставить ее выиграть предмет, если эта сумма меньше а. Например, если есть другой участник торгов Боб и он делает ставку ${displaystyle y}$ и ${displaystyle y<a}$, то Алиса хочет сделать ставку ${displaystyle y+varepsilon }$ (куда ${displaystyle varepsilon }$ это наименьшее количество, которое может быть добавлено, например один цент).

К сожалению, Алиса не знает, что собираются сделать другие участники торгов. Более того, она даже не знает оценок других участников торгов. Следовательно, стратегически у нас есть Байесовская игра - игра, в которой агенты не знают выигрышей других агентов.

Интересная задача в такой игре - найти Байесовское равновесие по Нэшу. Однако это непросто, даже когда претендентов всего два. Ситуация проще, когда оценки участников торгов i.i.d. случайные переменные, то есть: имеется известное предварительное распределение, и все оценки участников торгов основаны на одном и том же распределении.^{[4]:234–236}

Пример

Предположим, есть два участника торгов, Алиса и Боб, чьи оценки а и б взяты из Непрерывное равномерное распределение на интервале [0,1]. Тогда это равновесие Байеса-Нэша, когда каждый участник торгов предлагает ровно половину своей стоимости: Алиса делает ставки ${displaystyle a/2}$ и ставки Боба ${displaystyle b/2}$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство основано на точке зрения Алисы. Мы предполагаем, что она знает, что Боб делает ставку ${displaystyle f(b)=b/2}$, но она не знает ${displaystyle b}$. Мы находим лучший ответ Алисы на стратегию Боба. Предположим, Алиса делает ставку ${displaystyle x}$. Есть два случая:

• ${displaystyle xgeq f(b)}$. Тогда Алиса выигрывает и получает чистую прибыль в размере ${displaystyle a-x}$. Это случается с вероятностью ${displaystyle f^{-1}(x)=2x}$.
• ${displaystyle x<f(b)}$. Тогда Алиса проигрывает, и ее чистый выигрыш равен 0. Это происходит с вероятностью. ${displaystyle 1-f^{-1}(x)}$.

В общем, ожидаемый выигрыш Алисы составляет: ${displaystyle G(x)=f^{-1}(x)cdot (a-x)}$. Максимальный выигрыш достигается при ${displaystyle G'(x)=0}$. Производная (см. Обратные функции и дифференцирование ):

${displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)cdot {1 over f'(f^{-1}(x))}}$

и он равен нулю, когда ставка Алисы ${displaystyle x}$ удовлетворяет:

${displaystyle f^{-1}(x)=(a-x)cdot {1 over f'(f^{-1}(x))}}$

Теперь, поскольку мы ищем симметричное равновесие, мы также хотим, чтобы ставка Алисы ${displaystyle x}$ в равной ${displaystyle f(a)}$. Итак, у нас есть:

${displaystyle f^{-1}(f(a))=(a-f(a))cdot {1 over f'(f^{-1}(f(a)))}}$

${displaystyle a=(a-f(a))cdot {1 over f'(a)}}$

${displaystyle af'(a)=(a-f(a))}$

Решение этого дифференциального уравнения: ${displaystyle f(a)=a/2}$.

Обобщение

Обозначить:

• ${displaystyle v_{i}}$ - оценка претендента ${displaystyle i}$;
• ${displaystyle y_{i}}$ - максимальная оценка всех участников, кроме ${displaystyle i}$, т.е. ${displaystyle y_{i}=max _{jeq i}{v_{j}}}$.

Тогда FPSBA имеет уникальный симметричный BNE, в котором ставка игрока ${displaystyle i}$ дан кем-то:^[5]:33–40

${displaystyle E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]}$

Поощрительно-совместимый вариант

FPSBA не совместимый со стимулами даже в слабом смысле Байесовско-Нэш-Стимулирующей Совместимости (BNIC), поскольку не существует Байесовско-Нэшского равновесия, в котором участники торгов сообщают свою истинную ценность.

Однако легко создать вариант FPSBA, который является BNIC, если априорные значения оценок общеизвестны. Например, для случая Алисы и Боба, описанного выше, правила варианта BNIC следующие:

• Победитель, предложивший самую высокую цену;
• Участник, предложивший самую высокую цену, оплачивает 1/2 своей ставки.

По сути, этот вариант имитирует стратегии равновесия Байеса-Нэша игроков, поэтому в равновесии Байеса-Нэша оба участника торгов предлагают свою истинную стоимость.

Этот пример является частным случаем гораздо более общего принципа: принцип откровения.

Сравнение с аукционом второй цены

В следующей таблице сравнивается FPSBA с закрытых торгов аукцион второй цены (СПСБА):

Аукцион:	Первая цена	Вторая цена
Победитель:	Агент с самой высокой ставкой	Агент с самой высокой ставкой
Победитель платит:	Ставка победителя	Вторая по величине ставка
Проигравший платит:	0	0
Доминирующая стратегия:	Нет доминирующей стратегии	Правдивые торги - доминирующая стратегия[6]
Байесовское равновесие по Нэшу[7]	Участник торгов ${displaystyle i}$ ставки ${displaystyle {frac {n-1}{n}}v_{i}}$	Участник торгов ${displaystyle i}$ честно делает ставку ${displaystyle v_{i}}$
Выручка аукциониста[7]	${displaystyle {frac {n-1}{n+1}}}$	${displaystyle {frac {n-1}{n+1}}}$

Выручка аукциониста рассчитывается в примере, в котором оценки агентов производятся независимо и равномерно случайным образом из [0,1]. Например, когда есть ${displaystyle n=2}$ агенты:

• В аукционе первой цены аукционист получает максимум из двух равновесных ставок, т.е. ${displaystyle max(a/2,b/2)}$.
• На аукционе второй цены аукционист получает минимум из двух правдивых ставок, т.е. ${displaystyle min(a,b)}$.

В обоих случаях аукционист ожидал выручка 1/3.

Тот факт, что выручка одинакова, не случаен - это частный случай эквивалент доходов теорема. Это справедливо только тогда, когда оценки агентов статистически независимый; когда оценки зависимы, мы имеем аукцион общей стоимости, и в этом случае доход на аукционе второй цены обычно выше, чем на аукционе первой цены.

Предмет для продажи не может быть продан, если окончательная ставка недостаточно высока, чтобы удовлетворить продавца, то есть продавец оставляет за собой право принять или отклонить самую высокую ставку. Если продавец объявляет участникам торгов резервную цену, это публичный аукцион с резервной ценой.^[8] Напротив, если продавец объявляет резервную цену не до продажи, а только после продажи, это секретный аукцион резервной цены.^[9]

Сравнение с другими аукционами

FPSBA отличается от Английский аукцион при этом каждый участник торгов может подать только по одной ставке. Кроме того, поскольку участники торгов не могут видеть ставки других участников, они не могут соответствующим образом корректировать свои собственные ставки.^[3]

Утверждалось, что FPSBA стратегически эквивалентен Голландский аукцион.^[2]:p13

Что обычно называют FPSBA? торги за приобретение компаниями и организациями, особенно для государственных контрактов и аукционов по аренде горнодобывающих предприятий.^[3] Считается, что FPSBA приведет к низким расходам на закупки за счет конкуренции и снижению уровня коррупции за счет повышения прозрачности, даже если они могут повлечь за собой более высокие фактические дополнительные затраты на завершенный проект и дополнительное время для его завершения.^[10]

А Обобщенный аукцион первой цены представляет собой неправдивый механизм аукциона для спонсируемого поиска (он же позиционный аукцион).

Обобщением аукционов как 1-й, так и 2-й цены является аукцион, в котором цена представляет собой выпуклую комбинацию 1-й и 2-й цены.^[11]

Рекомендации

1. Шор, Михаил, Словарь терминов теории игр "слепой аукцион"
2. Кришна, Виджай (2002), Теория аукционов, Сан-Диего, США: Academic Press, ISBN  978-0-12-426297-3
3. Макафи, Динеш Сатам; Макмиллан, Динеш (1987), «Аукционы и торги» (PDF), Журнал экономической литературы, Американская экономическая ассоциация (опубликовано в июне 1987 г.), 25 (2), стр. 699–738, JSTOR  2726107, получено 2008-06-25
4. Вазирани, Виджай В.; Нисан, Ноам; Roughgarden, Тим; Тардос, Ива (2007). Алгоритмическая теория игр (PDF). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-87282-0.
5. Дарон Аджемоглу и Асу Оздаглар (2009). «Сетевые лекции 19–21: Неполная информация: байесовское равновесие по Нэшу, аукционы и введение в социальное обучение». Массачусетский технологический институт. Получено 8 октября 2016.
6. Следовательно, аукцион второй цены - это правдивый механизм.
7. Рассчитано на ${displaystyle n}$ участники торгов, чьи оценки составлены независимо и равномерно случайным образом из [0,1]
8. Riley, J.G .; Самуэльсон, В.Ф. (1981). «Оптимальные аукционы» (PDF). Американский экономический обзор. 71: 381–392.
9. Елякиме, Б .; Laffont, J.J .; Loisel, P .; Вуонг, К. (1994). «Аукционы с закрытой ставкой первой цены с секретными ценами резервирования». Анналы экономики и статистики. 34 (34): 115–141. Дои:10.2307/20075949. JSTOR  20075949.
10. Декаролис, Франческо (2014). «Присуждение цены, выполнение контракта и проверка предложений: свидетельства аукционов по закупкам». Американский экономический журнал: прикладная экономика. 6 (1).
11. Güth, W .; ван Дамм, Э. (1986-09-01). «Сравнение правил ценообразования на аукционах и играх с честным разделением». Социальный выбор и благосостояние. 3 (3): 177–198. Дои:10.1007 / bf00433534. ISSN  0176-1714.

дальнейшее чтение

• Хаммами, Фарук; Рекик, Моня; Коэльо, Леандро К. (2019). «Точные и эвристические подходы к решению задачи построения заявок на транспортных аукционах с неоднородным флотом». Транспортное исследование, часть E: обзор логистики и транспорта. 127: 150–177. Дои:10.1016 / j.tre.2019.05.009. Комбинаторные аукционы по закупке транспортных услуг с правилами закрытой ставки первой цены.

внешняя ссылка

• Равновесие по Нэшу на аукционе первой цены - в math.stackexchange.com.