Первый вариант - First variation

В прикладной математика и вариационное исчисление, то первая вариация из функциональный J(у) определяется как линейный функционал ${displaystyle delta J(y)}$ отображение функции час к

${displaystyle delta J(y,h)=lim _{varepsilon o 0}{frac {J(y+varepsilon h)-J(y)}{varepsilon }}=left.{frac {d}{dvarepsilon }}J(y+varepsilon h)ight|_{varepsilon =0},}$

куда у и час функции, и ε является скаляром. Это узнаваемо как Производная Гато функционала.

Пример

Вычислите первый вариант

${displaystyle J(y)=int _{a}^{b}yy'dx.}$

Из определения выше,

${displaystyle {egin{aligned}delta J(y,h)&=left.{frac {d}{dvarepsilon }}J(y+varepsilon h)ight|_{varepsilon =0}&=left.{frac {d}{dvarepsilon }}int _{a}^{b}(y+varepsilon h)(y^{prime }+varepsilon h^{prime }) dxight|_{varepsilon =0}&=left.{frac {d}{dvarepsilon }}int _{a}^{b}(yy^{prime }+yvarepsilon h^{prime }+y^{prime }varepsilon h+varepsilon ^{2}hh^{prime }) dxight|_{varepsilon =0}&=left.int _{a}^{b}{frac {d}{dvarepsilon }}(yy^{prime }+yvarepsilon h^{prime }+y^{prime }varepsilon h+varepsilon ^{2}hh^{prime }) dxight|_{varepsilon =0}&=left.int _{a}^{b}(yh^{prime }+y^{prime }h+2varepsilon hh^{prime }) dxight|_{varepsilon =0}&=int _{a}^{b}(yh^{prime }+y^{prime }h) dxend{aligned}}}$

Смотрите также

• Вариационное исчисление
• Функциональная производная