Четвертая, пятая и шестая производные позиции - Fourth, fifth, and sixth derivatives of position - Wikipedia

Производные позиции по времени

В физика, то четвертая, пятая и шестая производные позиции определены как производные из вектор положения относительно время - с первой, второй и третьей производными скорость, ускорение, и придурок, соответственно. Однако эти производные высшего порядка появляются редко,^[1] и их имена не стандартные.

Четвертая производная часто упоминается как щелчок или же трясти. Название «оснастка» для четвертой производной привело к треск и поп для пятой и шестой производных,^[2] вдохновлен рекламными талисманами Щелчок, треск и поп.^[3] Иногда они используются, хотя и «иногда несколько шутливо».^[3]

Четвертая производная (щелчок / толчок)

Щелчок,^[4] или же трясти, это четвертый производная из вектор положения относительно время, или скорость изменения из придурок относительно времени.^[3] Эквивалентно, это вторая производная от ускорение или третья производная от скорость, и определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}$

Следующие уравнения используются для постоянной привязки:

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},}$

куда

${\displaystyle {\vec {s}}}$ постоянный щелчок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ это начальный рывок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ последний рывок,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ начальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ это финальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ начальная скорость,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ конечная скорость,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ начальная позиция,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ конечная позиция,

${\displaystyle t}$ время между начальным и конечным состояниями.

Обозначение ${\displaystyle {\vec {s}}}$ (используется Visser^[3]) не следует путать с вектор смещения обычно обозначается аналогично.

Размеры привязки - это расстояние в четвертой степени времени. В Единицы СИ, это «метры в секунду до четвертых», м / с⁴, м⋅с⁻⁴, или 100 гал в секунду в квадрате CGS единицы.

Пятая производная (треск)

Треск^[2] пятый производная из вектор положения относительно время, с первой, второй, третьей и четвертой производными скорость, ускорение, придурок, и щелчок, соответственно; треск, таким образом, представляет собой скорость изменения щелчка во времени.^[2][3] Crackle определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного треска:

${\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t}$

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}}$

куда

${\displaystyle {\vec {c}}}$ : постоянный треск,

${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальная привязка,

${\displaystyle {\vec {s}}}$ : final snap,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : финальный рывок,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ : конечное ускорение,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : Начальная скорость,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,

${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры кракле LT⁻⁵. В Единицы СИ, это м / с⁵, И в CGS ед., 100 гал за куб. секунду.

Шестая производная (pop / pounce)

Поп^[2] (изредка Внезапно атаковать^{[нужна цитата ]}) является шестым производная из вектор положения относительно время с первой, второй, третьей, четвертой и пятой производными скорость, ускорение, придурок, щелчок, и треск, соответственно; pop, таким образом, представляет собой скорость изменения треска во времени.^[2][3] Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного давления:

${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t}$

${\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}}$

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\frac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\frac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}}$

куда

${\displaystyle {\vec {p}}}$ : постоянный треск,

${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$ : начальный треск,

${\displaystyle {\vec {c}}}$ : финальный треск,

${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальная привязка,

${\displaystyle {\vec {s}}}$ : final snap,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : финальный рывок,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ : конечное ускорение,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : Начальная скорость,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,

${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры поп являются LT⁻⁶. В Единицы СИ, это м / с⁶, И в CGS ед., 100 гал за кварт в секунду.

Рекомендации

1. Gragert, Стефани (ноябрь 1998 г.). «Какой термин используется для обозначения третьей производной позиции?». Часто задаваемые вопросы по физике и теории относительности Usenet. Математический факультет, Калифорнийский университет, Риверсайд. Получено 2015-10-24.
2. Томпсон, Питер М. (5 мая 2011 г.). "Щелчок, треск и треск" (PDF). Информация AIAA. Хоторн, Калифорния: Системные технологии. п. 1. Архивировано 26 июня 2018 года.. Получено 3 марта 2017. Общие названия первых трех производных - скорость, ускорение и рывок. Не очень распространенные названия следующих трех производных - щелчок, треск и поп.
3. Виссер, Мэтт (31 марта 2004 г.). «Рывок, щелчок и космологическое уравнение состояния». Классическая и квантовая гравитация. 21 (11): 2603–2616. arXiv:gr-qc / 0309109. Bibcode:2004CQGra..21.2603V. Дои:10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN  0264-9381. Snap [четвертая производная по времени] также иногда называют скачком. Пятая и шестая производные по времени иногда шутливо называют треском и треском.
4. Меллингер, Дэниел; Кумар, Виджай (2011). «Создание и управление минимальной траекторией для квадрокоптеров». 2011 Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации. С. 2520–2525. Дои:10.1109 / ICRA.2011.5980409. ISBN  978-1-61284-386-5.

внешняя ссылка

• Космография: космология без уравнений Эйнштейна, Мэтт Виссер, Школа математики, статистики и информатики, Веллингтонский университет Виктории, 2004 г.