Бесплатная презентация - Free presentation - Wikipedia

Эта статья посвящена описанию модуля над кольцом. Для определения генераторов и отношений группы см. презентация группы.

В алгебра, а бесплатная презентация из модуль M через коммутативное кольцо р является точная последовательность из р-модули:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R{\overset {f}{\to }}\bigoplus _{j\in J}R{\overset {g}{\to }}M\to 0.}$

Обратите внимание на изображение под грамм стандартной базы генерирует M. В частности, если J конечно, то M это конечно порожденный модуль. Если я и J конечные множества, то представление называется конечное представление; модуль называется конечно представленный если он допускает конечное представление.

С ж это модульный гомоморфизм между свободными модулями его можно представить в виде (бесконечной) матрицы с элементами в р и M как его коядро.

Свободное представление существует всегда: любой модуль является частным от свободного модуля: ${\displaystyle F{\overset {g}{\to }}M\to 0}$, но тогда ядро грамм снова является частным свободного модуля: ${\displaystyle F'{\overset {f}{\to }}\ker g\to 0}$. Сочетание ж и грамм это бесплатная презентация M. Теперь, очевидно, можно продолжать «разрешать» ядра таким образом; результат называется бесплатное разрешение. Таким образом, бесплатная презентация - это первая часть бесплатного разрешения.

Презентация полезна для вычислений. Например, поскольку натяжение является точным справа, напрягая вышеуказанное представление с помощью модуля, скажем N, дает:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N{\overset {f\otimes 1}{\to }}\bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

Это говорит, что ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ коядро ${\displaystyle f\otimes 1}$. Если N является р-алгебра, то это представление N-модуль ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$; то есть представление расширяется под расширением базы.

Для точного слева функторы, есть например

Предложение — Позволять F, грамм - точные слева контравариантные функторы из категории модулей над коммутативным кольцом р абелевым группам и θ а естественная трансформация из F к грамм. Если ${\displaystyle \theta :F(R^{\oplus n})\to G(R^{\oplus n})}$ является изоморфизмом для каждого натурального числа п, тогда ${\displaystyle \theta :F(M)\to G(M)}$ является изоморфизмом любого конечно представленного модуля M.

Доказательство: применение F к конечному представлению ${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M}$ приводит к

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n})}$

и то же самое для грамм. Теперь примените лемма о змеях. ${\displaystyle \square }$

Смотрите также

• Связный модуль
• Конечно-связанный модуль
• Подходит идеально
• Квазикогерентный пучок

Рекомендации

• Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.