Дифракция Френеля - Fresnel diffraction

В оптика, то Дифракция Френеля уравнение для дифракция в ближней зоне является приближением Дифракция Кирхгофа – Френеля. который можно применить к распространению волн в ближнее поле.^[1] Он используется для расчета дифракционная картина создается волнами, проходящими через отверстие или вокруг объекта, если смотреть с относительно близкого расстояния к объекту. Напротив, дифракционная картина в дальнее поле регион дается Фраунгофера дифракция уравнение.

Ближнее поле можно указать с помощью Число Френеля, F оптического устройства. Когда ${\displaystyle F\gg 1}$ считается, что дифрагированная волна находится в ближнем поле. Однако справедливость дифракционного интеграла Френеля определяется приближениями, полученными ниже. В частности, фазовые члены третьего порядка и выше должны быть незначительными, условие, которое можно записать как

${\displaystyle {\frac {F\theta ^{2}}{4}}\ll 1,}$

куда ${\displaystyle \theta }$ - максимальный угол, описываемый ${\displaystyle \theta \approx a/L}$, а и L то же, что и в определении Число Френеля.

Дифракция Френеля, показывающая центральную Пятно Араго

Множественная дифракция Френеля на близко расположенных периодических гребнях (ребристое зеркало ) вызывает зеркальное отражение; этот эффект можно использовать для атомные зеркала.^[2]

Ранние методы лечения этого явления

Некоторые из самых ранних работ по так называемой дифракции Френеля были выполнены Франческо Мария Гримальди в Италии в 17 веке. В своей монографии «Свет»^[3] Ричард К. МакЛорин объясняет дифракцию Френеля, спрашивая, что происходит при распространении света и как на этот процесс влияет, когда барьер с щелью или отверстием в нем вставляется в луч, создаваемый удаленным источником света. Он использует принцип Гюйгенс исследовать, с классической точки зрения, что происходит. Волновой фронт, который исходит от щели и попадает на экран обнаружения на некотором расстоянии, очень близко аппроксимирует волновой фронт, исходящий из области щели, без учета каких-либо мельчайших взаимодействий с реальным физическим краем.

В результате, если зазор очень узкий, могут возникать только дифракционные картины с яркими центрами. Если зазор постепенно увеличивать, то дифракционные картины с темными центрами будут чередоваться с дифракционными картинами с яркими центрами. По мере увеличения зазора различия между темными и светлыми полосами уменьшаются до тех пор, пока дифракционный эффект больше не будет обнаруживаться.

Маклаурин не упоминает о возможности того, что центр ряда дифракционных колец, образующихся при прохождении света через маленькое отверстие, может быть черным, но он указывает на обратную ситуацию, когда тень, создаваемая маленьким круглым объектом. может парадоксальным образом иметь яркий центр. (стр.219)

В его Оптика,^[4] Фрэнсис Уэстон Сирс предлагает математическое приближение, предложенное Френелем, которое предсказывает основные особенности дифракционных картин и использует только простую математику. Рассматривая перпендикулярное расстояние от отверстия в барьерном экране до ближайшего экрана обнаружения, а также длину волны падающего света, можно вычислить количество областей, называемых полупериодными элементами или Зоны Френеля. Внутренняя зона представляет собой круг, а каждая последующая зона представляет собой концентрическое кольцевое кольцо. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен, чтобы обнажить первую или центральную зону Френеля, амплитуда света в центре экрана обнаружения будет вдвое больше, чем было бы, если бы экран обнаружения не был закрыт. Если диаметр круглого отверстия в экране достаточен, чтобы обнажить две зоны Френеля, то амплитуда в центре почти равна нулю. Это означает, что дифракционная картина Френеля может иметь темный центр. Эти закономерности можно увидеть и измерить, и они хорошо соответствуют рассчитанным для них значениям.

Дифракционный интеграл Френеля

Геометрия дифракции, показывающая плоскость апертуры (или дифрагирующего объекта) и плоскость изображения с системой координат.

Электрическое поле дифракция узор в точке (х, у, г) дан кем-то:

${\displaystyle E\left(x,y,z\right)={\frac {1}{i\lambda }}\iint _{-\infty }^{+\infty }{E\left(x',y',0\right){\frac {e^{ikr}}{r}}}{\frac {z}{r}}dx'dy'}$

куда

${\displaystyle E\left(x',y',0\right)}$ - электрическое поле на отверстии,

${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x'\right)^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}$ ,

${\displaystyle k}$ это волновое число ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$

${\displaystyle i\,}$ это мнимая единица.

Аналитическое решение этого интеграла невозможно для всех, кроме простейших дифракционных геометрий. Поэтому обычно рассчитывается численно.

Приближение Френеля

Сравнение дифракционной картины, полученной с помощью уравнения Рэлея-Зоммерфельда, (параксиального) приближения Френеля и (дальнего поля) приближения Фраунгофера.

Основная проблема для решения интеграла - это выражение р. Во-первых, мы можем упростить алгебру, введя замену:

${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,}$

Подставляя в выражение для р, мы нашли:

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}}$

Затем по биномиальному разложению

${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }$

Мы можем выразить ${\displaystyle r}$ в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}}$

Если рассматривать все члены биномиального ряда, то аппроксимации нет.^[5] Подставим это выражение в аргумент экспоненты внутри интеграла; Ключ к приближению Френеля состоит в том, чтобы предположить, что третий член очень мал и может быть проигнорирован, а с этого момента и любых более высоких порядков. Чтобы сделать это возможным, он должен вносить свой вклад в изменение экспоненты для почти нулевого члена. Другими словами, он должен быть намного меньше периода комплексной экспоненты; т.е. ${\displaystyle 2\pi }$:

${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi }$

выражая k по длине волны,

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

получаем следующие отношения:

${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}$

Умножая обе стороны на ${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3}}$, у нас есть

${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}}$

или, подставив предыдущее выражение для ρ²,

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}}$

Если это условие выполняется для всех значений Икс, Икс' , у и y ' , то мы можем игнорировать третий член в выражении Тейлора. Более того, если третье слагаемое пренебрежимо мало, то все члены более высокого порядка будут еще меньше, поэтому мы также можем их игнорировать.

Для приложений, использующих оптические длины волн, длина волны λ обычно на много порядков меньше соответствующих физических размеров. Особенно:

${\displaystyle \lambda \ll z}$

и

${\displaystyle \lambda \ll \rho }$

Таким образом, с практической точки зрения требуемое неравенство всегда будет выполняться до тех пор, пока

${\displaystyle \rho \ll z}$

Затем мы можем аппроксимировать выражение только двумя первыми членами:

${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}$

Таким образом, это уравнение является Приближение Френеля, а указанное выше неравенство является условием справедливости приближения.

Дифракция Френеля

Условие достоверности довольно слабое, и оно позволяет всем параметрам длины принимать сопоставимые значения при условии, что апертура мала по сравнению с длиной пути. Для р в знаменателе мы делаем еще один шаг и аппроксимируем его только первым членом, ${\displaystyle r\approx z}$. Это справедливо, в частности, если нас интересует поведение поля только в небольшой области, близкой к началу координат, где значения Икс и у намного меньше, чем z. В общем случае дифракция Френеля справедлива, если Число Френеля примерно 1.

Для дифракции Френеля электрическое поле в точке (х, у, г) тогда определяется как:

${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}dx'dy'}$

Дифракция Френеля круглой апертуры, построенная с Функции Ломмеля

Это дифракционный интеграл Френеля; это означает, что, если справедливо приближение Френеля, распространяющееся поле представляет собой сферическую волну, берущую начало в отверстии и движущуюся вдоль z. Интеграл модулирует амплитуду и фазу сферической волны. Аналитическое решение этого выражения пока возможно лишь в редких случаях. Для дальнейшего упрощенного случая, справедливого только для гораздо больших расстояний от источника дифракции, см. Фраунгофера дифракция. В отличие от дифракции Фраунгофера дифракция Френеля учитывает кривизну волновой фронт, чтобы правильно рассчитать относительную фаза интерферирующих волн.

Альтернативные формы

Свертка

Интеграл можно выразить другими способами, чтобы вычислить его, используя некоторые математические свойства. Если мы определим следующую функцию:

${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}}$

то интеграл можно выразить через свертка:

${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z)}$

другими словами, мы представляем распространение с помощью моделирования с линейным фильтром. Вот почему мы можем вызвать функцию ч (х, у, г) импульсная характеристика распространения в свободном пространстве.

преобразование Фурье

Другой возможный способ - через преобразование Фурье. Если в интеграле выразить k по длине волны:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

и развернуть каждую составляющую поперечного смещения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+{x'}^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+{y'}^{2}-2yy',\end{aligned}}}$

тогда мы можем выразить интеграл через двумерное преобразование Фурье. Воспользуемся следующим определением:

${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$

куда п и q пространственные частоты (волновые числа ). Интеграл Френеля можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=H(p,q)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}},\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle H(p,q)={\mathcal {F}}\left\{h(x,y)\right\}.}$

То есть сначала умножьте распространяемое поле на комплексную экспоненту, вычислите его двумерное преобразование Фурье, замените (п, q) с ${\displaystyle \left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)}$ и умножьте его на другой коэффициент. Это выражение лучше других, когда процесс приводит к известному преобразованию Фурье, и связь с преобразованием Фурье усиливается в линейное каноническое преобразование, обсуждается ниже.

Линейное каноническое преобразование

Основная статья: Линейное каноническое преобразование

С точки зрения линейное каноническое преобразование, Дифракцию Френеля можно рассматривать как срезать в частотно-временная область, что соответствует тому, как преобразование Фурье представляет собой поворот в частотно-временной области.

Смотрите также

• Фраунгофера дифракция
• Интеграл Френеля
• Зона Френеля
• Число Френеля
• Огюстен-Жан Френель
• Зеркало ребристое
• Тепловизор Френеля
• Спираль Эйлера

Примечания

1. М. Борн & Э. Вольф, Принципы оптики, 1999, Cambridge University Press, Кембридж
2. http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PhysRevLett_94_013203.pdf Х. Оберст, Д. Кузнецов, К. Симидзу, Дж. Фудзита, Ф. Симидзу. Дифракционное зеркало Френеля для атомной волны, Письма с физическими проверками, 94, 013203 (2005).
3. https://archive.org/details/lightrichard00maclrichСвет, Ричард К. МакЛорин, 1909, издательство Колумбийского университета.
4. Оптика, Фрэнсис Уэстон Сирс, стр. 248ff, Эддисон-Уэсли, 1948 г.
5. Фактически на предыдущем шаге было приближение, когда предполагалось ${\displaystyle e^{ikr}/r}$ это настоящая волна. На самом деле это не настоящее решение вектора Уравнение Гельмгольца, а до скалярного. Видеть приближение скалярных волн

Рекомендации

• Гудман, Джозеф В. (1996). Введение в фурье-оптику. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-024254-2.