Фундаментальное векторное поле - Fundamental vector field

При изучении математика и особенно дифференциальная геометрия, фундаментальные векторные поля являются инструментом, который описывает бесконечно малое поведение гладкий Группа Ли действие на гладкое многообразие. Такой векторные поля найти важные приложения в изучении Теория лжи, симплектическая геометрия, и изучение Действия гамильтоновой группы.

Мотивация

Важно для приложений по математике и физика^[1] это понятие поток на коллекторе. В частности, если ${displaystyle M}$ это гладкое многообразие и ${displaystyle X}$ гладкий векторное поле, интересно найти интегральные кривые к ${displaystyle X}$. Точнее, учитывая ${displaystyle pin M}$ кто-то интересуется кривыми ${displaystyle gamma _{p}:mathbb {R} o M}$ такой, что

${displaystyle gamma _{p}'(t)=X_{gamma _{p}(t)},qquad gamma _{p}(0)=p,}$

для которых локальные решения гарантируются Теорема существования и единственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Если ${displaystyle X}$ кроме того полное векторное поле, то поток ${displaystyle X}$, определяемую как совокупность всех интегральных кривых для ${displaystyle X}$, это диффеоморфизм из ${displaystyle M}$. Течение ${displaystyle phi _{X}:mathbb {R} imes M o M}$ данный ${displaystyle phi _{X}(t,p)=gamma _{p}(t)}$ на самом деле действие добавки Группа Ли ${displaystyle (mathbb {R} ,+)}$ на ${displaystyle M}$.

И наоборот, каждое плавное действие ${displaystyle A:mathbb {R} imes M o M}$ определяет полное векторное поле ${displaystyle X}$ через уравнение

${displaystyle X_{p}=left.{frac {d}{dt}}ight|_{t=0}A(t,p).}$

Тогда это простой результат^[2] что существует взаимно однозначное соответствие между ${displaystyle mathbb {R} }$ действия на ${displaystyle M}$ и полные векторные поля на ${displaystyle M}$.

На языке теории течения векторное поле ${displaystyle X}$ называется бесконечно малый генератор.^[3] Интуитивно поведение потока в каждой точке соответствует «направлению», указанному векторным полем. Возникает естественный вопрос, можно ли установить аналогичное соответствие между векторными полями и более произвольными действиями группы Ли на ${displaystyle M}$.

Определение

Позволять ${displaystyle G}$ - группа Ли с соответствующими Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Кроме того, пусть ${displaystyle M}$ - гладкое многообразие, наделенное плавное действие ${displaystyle A:G imes M o M}$. Обозначим карту ${displaystyle A_{p}:G o M}$ такой, что ${displaystyle A_{p}(g)=A(g,p)}$, называется карта орбиты ${displaystyle A}$ соответствующий ${displaystyle p}$.^[4] За ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$, фундаментальное векторное поле ${displaystyle X^{#}}$ соответствующий ${displaystyle X}$ является любым из следующих эквивалентных определений:^[2][4][5]

• ${displaystyle X_{p}^{#}=d_{e}A_{p}(X)}$
• ${displaystyle X_{p}^{#}=d_{(e,p)}Aleft(X,0_{T_{p}M}ight)}$
• ${displaystyle X_{p}^{#}=left.{frac {d}{dt}}ight|_{t=0}Aleft(exp(tX),pight)}$

куда ${displaystyle d}$ это дифференциал гладкого отображения и ${displaystyle 0_{T_{p}M}}$ это нулевой вектор в векторное пространство ${displaystyle T_{p}M}$.

Карта ${displaystyle {mathfrak {g}} o Gamma (TM),Xmapsto X^{#}}$ можно затем показать как Гомоморфизм алгебр Ли.^[5]

Приложения

Группы Ли

Алгебра Ли группы Ли ${displaystyle G}$ можно отождествить с лево или правоинвариантными векторными полями на ${displaystyle G}$. Это хорошо известный результат^[3] что такие векторные поля изоморфны ${displaystyle T_{e}G}$, касательное пространство в единице. Фактически, если мы позволим ${displaystyle G}$ действуют на себя посредством правого умножения, соответствующие фундаментальные векторные поля являются в точности левоинвариантными векторными полями.

Действия гамильтоновой группы

в мотивация, было показано, что существует взаимно однозначное соответствие между гладкими ${displaystyle mathbb {R} }$ действия и полные векторные поля. Точно так же существует биективное соответствие между симплектическими действиями (индуцированными диффеоморфизмы все симплектоморфизмы ) и заполнить симплектические векторные поля.

Близко родственная идея - идея Гамильтоновы векторные поля. Для симплектического многообразия ${displaystyle (M,omega )}$мы говорим, что ${displaystyle X_{H}}$ является гамильтоновым векторным полем, если существует гладкая функция ${displaystyle H:M o mathbb {R} }$ удовлетворение

${displaystyle dH=iota _{X_{H}}omega }$

где карта ${displaystyle iota }$ это интерьерный продукт. Это мотивирует определение понятия Гамильтонова группа действий следующим образом: Если ${displaystyle G}$ группа Ли с алгеброй Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ и ${displaystyle A:G imes M o M}$ это групповое действие ${displaystyle G}$ на гладком многообразии ${displaystyle M}$, то мы говорим, что ${displaystyle A}$ является действием гамильтоновой группы, если существует карта моментов ${displaystyle mu :M o {mathfrak {g}}^{*}}$ так что для каждого ${displaystyle Xin {mathfrak {g}}}$,

${displaystyle dmu ^{X}=iota _{X^{#}}omega ,}$

куда ${displaystyle mu ^{X}:M o mathbb {R} ,pmapsto langle mu (p),Xangle }$ и ${displaystyle X^{#}}$ фундаментальное векторное поле ${displaystyle X}$

Рекомендации

1. Хоу, Бо-Ю (1997), Дифференциальная геометрия для физиков, Всемирная научная издательская компания, ISBN  978-9810231057
2. Ана Каннас да Силва (2008). Лекции по симплектической геометрии. Springer. ISBN  978-3540421955.
3. Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия. Springer. ISBN  0-387-95448-1.
4. Оден, Мишель (2004). Действия тора на симплектических многообразиях. Birkhäuser. ISBN  3-7643-2176-8.
5. Либерманн, Полетт; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика. Springer. ISBN  978-9027724380.