Общие ковариантные преобразования - General covariant transformations

В физика, общековариантные преобразования находятся симметрии из теория гравитации на мировое многообразие ${\displaystyle X}$. Они есть калибровочные преобразования чьи функции параметров векторные поля на ${\displaystyle X}$. С физической точки зрения общековариантные преобразования рассматриваются как частные (голономный ) система отсчета преобразования в общая теория относительности. В математика, общековариантные преобразования определяются как частные автоморфизмы так называемых натуральных пучки волокон.

Математическое определение

Позволять ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ быть расслоенное многообразие с локальными расслоенными координатами ${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})\,}$. Каждый автоморфизм ${\displaystyle Y}$ проецируется на диффеоморфизм своей базы ${\displaystyle X}$. Однако обратное неверно. Диффеоморфизм ${\displaystyle X}$ не обязательно вызывать автоморфизм ${\displaystyle Y}$.

В частности, бесконечно малый генератор однопараметрического Группа Ли автоморфизмов ${\displaystyle Y}$ проектируемый векторное поле

${\displaystyle u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}}$

на ${\displaystyle Y}$. Это векторное поле проецируется на векторное поле ${\displaystyle \tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }}$ на ${\displaystyle X}$, поток которой является однопараметрической группой диффеоморфизмов ${\displaystyle X}$. Наоборот, пусть ${\displaystyle \tau =\tau ^{\lambda }\partial _{\lambda }}$ быть векторным полем на ${\displaystyle X}$. Возникает задача построения его подъемника на проектируемое векторное поле на ${\displaystyle Y}$ проецируется на ${\displaystyle \tau }$. Такой лифт существует всегда, но он не обязательно должен быть каноническим. Учитывая связь ${\displaystyle \Gamma }$ на ${\displaystyle Y}$, каждое векторное поле ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle X}$ дает горизонтальное векторное поле

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})}$

на ${\displaystyle Y}$. Этот горизонтальный подъемник ${\displaystyle \tau \to \Gamma \tau }$ дает мономорфизм из ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-модуль векторных полей на ${\displaystyle X}$ к ${\displaystyle C^{\infty }(Y)}$-модуль векторных полей на ${\displaystyle Y}$, но этот мономорфизм не является морфизмом алгебры Ли, если только ${\displaystyle \Gamma }$ плоский.

Однако существует категория упомянутых выше натуральных связок. ${\displaystyle T\to X}$ которые допускают функториальный подъем ${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$ на ${\displaystyle T}$ любого векторного поля ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle \tau \to {\widetilde {\tau }}}$ является мономорфизмом алгебры Ли

${\displaystyle [{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.}$

Этот функториальный подъем ${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$ является бесконечно малым общековариантным преобразованием ${\displaystyle T}$.

В общем случае рассматривается мономорфизм ${\displaystyle f\to {\widetilde {f}}}$ группы диффеоморфизмов ${\displaystyle X}$ группе автоморфизмов расслоения натурального расслоения ${\displaystyle T\to X}$. Автоморфизмы ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ называются общековариантными преобразованиями ${\displaystyle T}$. Например, нет вертикального автоморфизма ${\displaystyle T}$ является общековариантным преобразованием.

Примеры натуральных связок: тензорные пучки. Например, касательный пучок ${\displaystyle TX}$ из ${\displaystyle X}$ является естественным пучком. Каждый диффеоморфизм ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle X}$ порождает касательный автоморфизм ${\displaystyle {\widetilde {f}}=Tf}$ из ${\displaystyle TX}$ которое является общековариантным преобразованием ${\displaystyle TX}$. По голономным координатам ${\displaystyle (x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })}$ на ${\displaystyle TX}$, это преобразование читается как

${\displaystyle {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu }.}$

А комплект кадров ${\displaystyle FX}$ линейных касательных реперов в ${\displaystyle TX}$ также является естественным пучком. Общековариантные преобразования составляют подгруппу голономных автоморфизмов ${\displaystyle FX}$. Все связки, связанные со связкой кадров, являются естественными. Однако есть естественные связки, не связанные с ${\displaystyle FX}$.

Смотрите также

• Общая ковариация
• Теория калибровочной гравитации
• Волокнистый коллектор

Рекомендации

• Коларж И., Михор П., Словак Й., Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN  3-540-56235-4, ISBN  0-387-56235-4.
• Сарданашвили, Г., Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения волокон, многообразия струй и лагранжева теория, Lambert Academic Publishing: Саарбрюккен, 2013 г. ISBN  978-3-659-37815-7; arXiv:0908.1886
• Сондерс, Д.Дж. (1989), Геометрия струйных пучков, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-36948-7