Обобщенный метод пучка функций - Generalized pencil-of-function method

Обобщенный метод пучка функций (GPOF), также известен как матричный карандашный метод, это обработка сигнала метод оценки сигнала или извлечения информации с помощью сложный экспоненты. Быть похожим на Prony и оригинальные методы пучка функций, он обычно предпочтительнее других из-за его надежности и вычислительной эффективности.^[1]

Этот метод был первоначально разработан Ю. Хуа и Т. Санкаром для оценки поведения электромагнитных систем по их переходным характеристикам, основываясь на прошлой работе Санкара по оригинальному методу пучка функций.^[1][2] Этот метод имеет множество приложений в электротехника, особенно связанных с проблемами в вычислительная электромагнетизм, микроволновая техника и теория антенн.^[1]

Метод

Математическая основа

Переходный электромагнитный сигнал можно представить в виде:^[3]

${\displaystyle y(t)=x(t)+n(t)\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}e^{s_{i}t}+n(t);0\leq t\leq T,}$

где

${\displaystyle y(t)}$ - наблюдаемый сигнал во временной области,

${\displaystyle n(t)}$ это сигнал шум,

${\displaystyle x(t)}$ это фактический сигнал,

${\displaystyle R_{i}}$ являются остатки (${\displaystyle R_{i}}$),

${\displaystyle s_{i}}$ являются полюса системы, определяемой как ${\displaystyle s_{i}=-\alpha _{i}+j\omega _{i}}$,

${\displaystyle \alpha _{i}}$ являются коэффициенты демпфирования и

${\displaystyle \omega _{i}}$ являются угловые частоты.

Та же последовательность, отобранный на период ${\displaystyle T_{s}}$, можно записать так:

${\displaystyle y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M}$,

где ${\displaystyle z_{i}=e^{(-\alpha +j\omega )T_{s}}}$ личностями Z-преобразование. Обобщенный пучок функций оценивает оптимальные ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle z_{i}}$с.^[4]

Бесшумный анализ

Для бесшумного корпуса два ${\displaystyle (N-L)\times L}$ матрицы, ${\displaystyle Y_{1}}$ и ${\displaystyle Y_{2}}$, производятся:^[3]

${\displaystyle [Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L-1)&x(N-L)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L};}$ ${\displaystyle [Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L}}$

где ${\displaystyle L}$ определяется как карандаш параметр. ${\displaystyle Y_{1}}$ и ${\displaystyle Y_{2}}$ можно разложить на следующие матрицы:^[3]

${\displaystyle [Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]}$

где

${\displaystyle [Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(N-L-1)}&z_{2}^{(N-L-1)}&\cdots &z_{M}^{(N-L-1)}\end{bmatrix}}_{(N-L)\times M};}$ ${\displaystyle [Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}}$

${\textstyle [Z_{0}]}$ и ${\textstyle [B]}$ находятся ${\textstyle M\times M}$ диагональные матрицы с последовательно размещенными ${\textstyle z_{i}}$ и ${\textstyle R_{i}}$ значения соответственно.^[3]

Если ${\textstyle M\leq L\leq N-M}$, то обобщенные собственные значения из матричный карандаш

${\displaystyle [Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]}$

дают полюса системы, которые ${\displaystyle \lambda =z_{i}}$. Тогда обобщенные собственные векторы ${\displaystyle p_{i}}$ можно получить с помощью следующих тождеств:^[3]

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

где ${\displaystyle ^{+}}$ обозначает Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза, также известный как псевдообратный. Разложение по сингулярным числам может использоваться для вычисления псевдообратного.

Фильтрация шума

Если в системе присутствует шум, ${\textstyle [Y_{1}]}$ и ${\textstyle [Y_{2}]}$ объединены в общую матрицу данных, ${\textstyle [Y]}$:^[3]

${\displaystyle [Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}}$

где ${\displaystyle y}$ это зашумленные данные. Для эффективного фильтрация, L выбирается между ${\textstyle {\frac {N}{3}}}$ и ${\textstyle {\frac {N}{2}}}$. Сингулярное разложение на ${\textstyle [Y]}$ дает:

${\displaystyle [Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}}$

В этом разложении ${\textstyle [U]}$ и ${\textstyle [V]}$ находятся унитарные матрицы с соответствующими собственные векторы ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$ и ${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$ и ${\textstyle [\Sigma ]}$ диагональная матрица с сингулярные значения из ${\textstyle [Y]}$. Надстрочный ${\textstyle H}$ обозначает сопряженный транспонировать.^[3][4]

Тогда параметр ${\textstyle M}$ выбирается для фильтрации. Особые значения после ${\textstyle M}$, которые ниже порога фильтрации, обнуляются; для произвольного сингулярного значения ${\textstyle \sigma _{c}}$, порог обозначается следующей формулой:^[1]

${\displaystyle {\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}}$,

${\textstyle \sigma _{max}}$ и п - максимальное сингулярное значение и значащие десятичные цифры соответственно. Для данных со значащими цифрами с точностью до п, сингулярные значения ниже ${\textstyle 10^{-p}}$ считаются шумом.^[4]

${\textstyle [V_{1}']}$ и ${\textstyle [V_{2}']}$ получаются путем удаления последней и первой строки и столбца отфильтрованной матрицы ${\textstyle [V']}$соответственно; ${\textstyle M}$ столбцы ${\textstyle [\Sigma ]}$ представлять ${\textstyle [\Sigma ']}$. Отфильтровано ${\textstyle [Y_{1}]}$ и ${\textstyle [Y_{2}]}$ матрицы получаются как:^[4]

${\displaystyle [Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}}$

Предварительная фильтрация может использоваться для борьбы с шумом и улучшения сигнал-шум (SNR).^[1] Метод полосно-матричного карандаша (BPMP) является модификацией метода GPOF через FIR или IIR полосовые фильтры.^[1][5]

GPOF может обрабатывать сигнал / шум до 25 дБ. Для GPOF, как и для BPMP, разброс оценок примерно достигает Граница Крамера – Рао.^[3][5][4]

Расчет остатков

Остатки сложных полюсов получают через наименьших квадратов проблема:^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}}$

Приложения

Этот метод обычно используется для оценки интегралов Зоммерфельда в методе дискретных комплексных изображений для метод моментов, где спектральная Функция Грина аппроксимируется как сумма комплексных экспонент.^[1][6] Дополнительно метод используется в антенна анализ, S-параметр -оценка в СВЧ интегральные схемы, анализ распространения волн, индикация движущейся цели и обработка радиолокационного сигнала.^[1][7][8]

Смотрите также

• Обобщенная проблема собственных значений
• Матричный карандаш
• Метод Прони

использованная литература

1. Sarkar, T. K .; Перейра, О. (февраль 1995 г.). «Использование метода матричного карандаша для оценки параметров суммы комплексных экспонент». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine. 37 (1): 48–55. Bibcode:1995ИАПП ... 37 ... 48С. Дои:10.1109/74.370583.
2. Саркар, Т .; Nebat, J .; Weiner, D .; Джайн, В. (ноябрь 1980 г.). «Субоптимальная аппроксимация / идентификация переходных форм сигналов от электромагнитных систем методом карандаша функций». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 28 (6): 928–933. Bibcode:1980ITAP ... 28..928S. Дои:10.1109 / TAP.1980.1142411.
3. Hua, Y .; Саркар, Т. К. (февраль 1989 г.). «Обобщенный метод пучка функций для извлечения полюсов электромагнитной системы из ее переходной характеристики». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 37 (2): 229–234. Bibcode:1989ITAP ... 37..229H. Дои:10.1109/8.18710.
4. Hua, Y .; Саркар, Т. К. (май 1990 г.). «Матричный карандашный метод для оценки параметров экспоненциально затухающих / незатухающих синусоид в шуме». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. 38 (5): 814–824. Дои:10.1109/29.56027.
5. Ху, Фэндуо; Sarkar, T. K .; Хуа, Инбо (январь 1993 г.). «Использование полосовой фильтрации для метода матричного карандаша». Транзакции IEEE при обработке сигналов. 41 (1): 442–446. Bibcode:1993ITSP ... 41..442H. Дои:10.1109 / TSP.1993.193174.
6. Dural, G .; Аксун, М.И. (Июль 1995 г.). «Закрытые функции Грина для общих источников и стратифицированных сред». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 43 (7): 1545–1552. Bibcode:1995ITMTT..43.1545D. Дои:10.1109/22.392913. HDL:11693/10756.
7. Kahrizi, M .; Sarkar, T. K .; Маричевич, З.А. (январь 1994 г.). «Анализ широкой излучающей щели в плоскости заземления микрополосковой линии». Протоколы IEEE по теории и методам микроволнового излучения. 41 (1): 29–37. Дои:10.1109/22.210226.
8. Хуа Ю. (январь 1994 г.). «Визуализация непрерывно движущегося объекта с высоким разрешением с помощью радара ступенчатой ​​частоты». Обработка сигнала. 35 (1): 33–40. Дои:10.1016/0165-1684(94)90188-0.