Уравнение Гиббонса – Царева. - Gibbons–Tsarev equation - Wikipedia

В Уравнение Гиббонса – Царева. является интегрируемый нелинейный второго порядка уравнение в частных производных.[1] В простейшей форме, в двух измерениях, это можно записать следующим образом:

Уравнение возникает в теории бездисперсионные интегрируемые системы, как условие того, что решения Уравнения моментов Бенни могут параметризоваться только конечным числом их зависимых переменных, в данном случае двумя из них. Впервые он был представлен Джоном Гиббонсом и Сергеем Царевым в 1996 году.[2] Эта система также была выведена,[3][4] как условие того, что два квадратичных гамильтониана должны иметь исчезающие Скобка Пуассона.

Отношение к семействам щелевых карт

Теория этого уравнения была впоследствии развита Гиббонсом и Царевым.[5]В независимых переменных, ищутся решения иерархии Бенни, в которых только моментов независимы. Полученную систему всегда можно поставить в Инвариант Римана форма. Принимая за характерные скорости а соответствующие инварианты Римана должны быть , они связаны с нулевым моментом к:

Оба эти уравнения верны для всех пар .

Эта система имеет решения, параметризованные N функциями одной переменной. Их класс может быть построен в терминах N-параметрических семейств конформные карты из фиксированной области D, обычно комплексная половина -плоскости, в аналогичный домен в -плоскость но с N прорезями. Каждая прорезь сделана по фиксированной кривой с одним концом, закрепленным на границе и одна переменная конечная точка ; прообраз является . Тогда систему можно понимать как условие согласованности между множеством N Уравнения Лёвнера описывая рост каждой щели:

Аналитическое решение

Элементарное семейство решений N-мерной задачи можно получить, задав:

где реальные параметры удовлетворить:

Полином в правой части имеет N точек поворота, , с соответствующими

то и удовлетворяют N-мерным уравнениям Гиббонса – Царева.

Рекомендации

  1. ^ Андрей Д. Полянин, Валентин Федорович Зайцев, Справочник по нелинейным уравнениям с частными производными, издание второе, стр. 764 CRC ПРЕСС
  2. ^ Гиббонс Дж., Царев С.П. Редукции уравнений Бенни, Physics Letters A, Vol. 211, выпуск 1, страницы 19–24, 1996.
  3. ^ Е. Ферапонтов, А. П. Форди, J. Geom. Phys., 21 (1997), с. 169
  4. ^ Е. В. Ферапонтов, А. П. Форди, Physica D 108 (1997) 350-364
  5. ^ Дж. Гиббонс, С.П. Царев, Конформные отображения и редукция уравнений Бенни, Phys Letters A, том 258, №4-6, стр 263–271, 1999.