Глобально гиперболическое многообразие - Globally hyperbolic manifold

В математическая физика, глобальная гиперболичность определенное условие на причинная структура из пространство-время многообразие (т. е. лоренцево многообразие). Это называется гиперболическим, потому что основное условие, порождающее лоренцево многообразие, - это

• ${displaystyle t^{2}-r^{2}=T^{2}}$

(t и r - обычные переменные времени и радиуса), которое является одним из обычных уравнений, представляющих гипербола. Но это выражение верно только относительно обычного происхождения; затем в этой статье излагаются основы для обобщения этой концепции на любую пару точек в пространстве-времени. Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности, и потенциально к другим метрическим гравитационным теориям.

Определения

Есть несколько эквивалентных определений глобальной гиперболичности. Позволять M - гладкое связное лоренцево многообразие без края. Сделаем следующие предварительные определения:

• M является не совсем порочный если существует хотя бы одна точка, через которую не проходит замкнутая времениподобная кривая.
• M является причинный если у него нет замкнутых причинных кривых.
• M является не полное тюремное заключение если в компакте не содержится нерасширяемой причинной кривой. Это свойство подразумевает причинность.
• M является сильно причинный если за каждую точку п и любой район U из п существует причинно выпуклая окрестность V из п содержалась в U, где причинная выпуклость означает, что любая причинная кривая с концами в V полностью содержится в V. Это свойство предполагает не полное тюремное заключение.
• Учитывая любую точку п в M, ${displaystyle J^{+}(p)}$ [соотв. ${displaystyle J^{-}(p)}$] представляет собой набор точек, которые могут быть достигнуты ориентированным на будущее [соотв. направленная в прошлое] непрерывная причинная кривая, начиная с п.
• Учитывая подмножество S из M, то область зависимости из S это множество всех точек п в M так что каждая непродолжительная причинная кривая через п пересекает S.
• Подмножество S из M является ахрональный если времениподобная кривая не пересекается S больше чем единожды.
• А Поверхность Коши за M замкнутое ахрональное множество, область зависимости которого M.

Следующие условия эквивалентны:

1. Пространство-время причинно, и для каждой пары точек п и q в M, пространство непрерывных направленных в будущее причинных кривых из п к q компактна в ${displaystyle {mathcal {C}}^{0}}$ топология.
2. Пространство-время имеет поверхность Коши.
3. Пространство-время причинно, и для каждой пары точек п и q в M, подмножество ${displaystyle J^{-}(p)cap J^{+}(q)}$ компактный.
4. Пространство-время не является тотальным заключением, и для каждой пары точек п и q в M, подмножество ${displaystyle {J^{-}(p)cap J^{+}(q)}}$ содержится в компакте (т. е. его замыкание компактно).

Если любое из этих условий выполнено, мы говорим M является глобально гиперболический. Если M является гладким связным лоренцевым многообразием с краем, мы называем его глобально гиперболическим, если его внутренность глобально гиперболична.

Другие эквивалентные характеристики глобальной гиперболичности используют понятие лоренцевского расстояния. ${displaystyle d(p,q):=sup _{gamma }l(gamma )}$ где супремум берется по всем ${displaystyle C^{1}}$ причинные кривые, соединяющие точки (по соглашению d = 0, если такой кривой нет). Они есть

• Сильно причинное пространство-время, для которого ${displaystyle d}$ конечнозначно.^[1]
• Пространство-время, не полностью лишенное свободы, такое, что ${displaystyle d}$ непрерывна при любом выборе метрики в конформном классе исходной метрики.

Замечания

Глобальная гиперболичность в первой приведенной выше форме была введена Лере.^[2] чтобы учесть корректность задачи Коши для волнового уравнения на многообразии. В 1970 году Героч^[3] доказал эквивалентность определений 1 и 2. Определение 3 в предположении сильной причинности и его эквивалентность первым двум было дано Хокингом и Эллисом.^[4]

Как упоминалось, в более ранней литературе условие причинности в первом и третьем определениях глобальной гиперболичности, приведенных выше, заменено более сильным условием сильная причинность. В 2007 году Берналь и Санчес^[5] показал, что условие сильной причинности может быть заменено причинностью. В частности, любое глобально гиперболическое многообразие, как определено в п. 3, является сильно причинным. Позже Хуннонкпе и Мингуцци^[6] доказал, что для вполне разумных пространств-времени, точнее тех из них размерности больше трех, которые некомпактны или не полностью порочны, «причинное» условие может быть исключено из определения 3.

В определении 3 закрытие ${displaystyle J^{-}(p)cap J^{+}(q)}$ кажется сильным (фактически, замыкания множеств ${displaystyle J^{pm }(p)}$ подразумевать причинная простота, уровень причинной иерархии пространств-времени^[7] который остается чуть ниже глобальной гиперболичности). Эту проблему можно решить, усилив условие причинности, как в определении 4, предложенном Мингуцци.^[8] в 2009 году. Эта версия поясняет, что глобальная гиперболичность устанавливает условие совместимости между причинным отношением и понятием компактности: каждый причинный ромб содержится в компактном множестве, и каждая нерастяжимая причинная кривая ускользает от компактов. Заметьте, что чем больше семейство компактов, тем легче каузальным алмазам содержаться в некотором компакте, но тем труднее причинным кривым избежать компактов. Таким образом, глобальная гиперболичность уравновешивает обилие компактных множеств по отношению к причинной структуре. Поскольку более тонкие топологии имеют менее компактные множества, мы также можем сказать, что баланс находится на количестве открытых множеств, заданных причинной связью. Определение 4 также устойчиво к возмущениям метрики (которые в принципе могут вводить замкнутые причинные кривые). Фактически с помощью этой версии было показано, что глобальная гиперболичность устойчива по отношению к возмущениям метрики.^[9]

В 2003 году Берналь и Санчес^[10] показал, что любое глобально гиперболическое многообразие M имеет гладкую вложенную трехмерную поверхность Коши, и, кроме того, любые две поверхности Коши для M диффеоморфны. Особенно, M диффеоморфно произведению поверхности Коши с ${displaystyle mathbb {R} }$. Ранее было хорошо известно, что любая поверхность Коши глобально гиперболического многообразия является вложенным трехмерным ${displaystyle C^{0}}$ подмногообразие, любые два из которых гомеоморфны и такое, что многообразие топологически расщепляется как произведение поверхности Коши и ${displaystyle mathbb {R} }$. В частности, глобально гиперболическое многообразие расслаивается поверхностями Коши.

С учетом формулировка начального значения для уравнений Эйнштейна глобальная гиперболичность рассматривается как очень естественное условие в контексте общей теории относительности в том смысле, что при произвольных начальных данных существует единственное максимальное глобально гиперболическое решение уравнений Эйнштейна.

Смотрите также

• Условия причинности
• Причинная структура
• Световой конус

Рекомендации

1. Дж. К. Бим, П. Э. Эрлих и К. Л. Изли, "Глобальная лоренцевская геометрия". Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc. (1996).
2. Жан Лерэ, "Гиперболические дифференциальные уравнения". Заметки на мимеографе, Принстон, 1952 г.
3. Роберт П. Героч, «Область зависимости», Журнал математической физики 11, (1970) 437, 13 стр.
4. Стивен Хокинг и Джордж Эллис, «Крупномасштабная структура пространства-времени». Кембридж: Издательство Кембриджского университета (1973).
5. Антонио Н. Бернал и Мигель Санчес, «В глобальном масштабе гиперболическое пространство-время можно определить как« причинное », а не« строго причинное »», Классическая и квантовая гравитация 24 (2007), нет. 3, 745–749 [1]
6. Раймонд Н. Хуннонкпе и Этторе Мингуцци, «Гиперболическое пространство-время в глобальном масштабе можно определить без« причинного »условия», Классическая и квантовая гравитация 36 (2019), 197001 [2]
7. Э. Мингуцци и М. Санчес, "Причинная иерархия пространств-времени", в недавних разработках псевдоримановой геометрии ESI Lect. Математика. Физ., Под ред. Х. Баум и Д. Алексеевский (Издательство Европейского математического общества (EMS), Цюрих, 2008), с. 299 [3]
8. Этторе Мингуцци, "Характеризация некоторых условий причинности через непрерывность лоренцевского расстояния", Журнал геометрии и физики 59 (2009), 827–833 [4]
9. J.J. Бенавидес Наварро и Э. Мингуцци, «Глобальная гиперболичность устойчива в интервальной топологии», Журнал математической физики 52 (2011), 112504 [5]
10. Антонио Н. Берналь и Мигель Санчес, "О гладких гиперповерхностях Коши и теореме Героха о расщеплении", Коммуникации по математической физике 243 (2003), нет. 3, 461–470 [6]

• Хокинг, Стивен; Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4.
• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-87033-2.