Неравенство Громова для комплексного проективного пространства - Gromovs inequality for complex projective space - Wikipedia

В Риманова геометрия, Громов оптимальная конюшня 2-систолический неравенство - это неравенство

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$,

справедливо для произвольной римановой метрики на сложное проективное пространство, где оптимальная оценка достигается симметричным Метрика Фубини – Этюд, обеспечивая естественную геометризацию квантовая механика. Здесь ${\displaystyle \operatorname {stsys_{2}} }$ является стабильной 2-систолой, которую в данном случае можно определить как нижнюю грань площадей рациональных 2-циклов, представляющих класс комплексной проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}\subset \mathbb {CP} ^{n}}$ в 2-мерных гомологиях.

Неравенство впервые появилось в Громов (1981) как теорема 4.36.

Доказательство неравенства Громова опирается на Неравенство Виртингера для внешних 2-форм.

Проективные плоскости над алгебрами с делением ${\displaystyle \mathbb {R,C,H} }$

В частном случае n = 2 неравенство Громова принимает вид ${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{2}\leq 2\mathrm {vol} _{4}(\mathbb {CP} ^{2})}$. Это неравенство можно рассматривать как аналог Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$. В обоих случаях граничный случай равенства достигается симметричной метрикой проективной плоскости. Между тем, в кватернионном случае симметричная метрика на ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$ не является его систолически оптимальной метрикой. Другими словами, многообразие ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$ допускает римановы показатели с более высоким систолическим соотношением ${\displaystyle \mathrm {stsys} _{4}{}^{2}/\mathrm {vol} _{8}}$ чем для его симметричной метрики (Bangert et al. 2009 г. ).

Смотрите также

• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Неравенство Громова (значения)
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Систолическая геометрия

Рекомендации

• Бангерт, Виктор; Кац, Михаил Г .; Шнидер, Стив; Вайнбергер, Шмуэль (2009). "E₇, Неравенства Виртингера, 4-форма Кэли и гомотопия ». Математический журнал герцога. 146 (1): 35–70. arXiv:math.DG / 0608006. Дои:10.1215/00127094-2008-061. МИСТЕР  2475399.
• Громов, Михаил (1981). Ж. Лафонтен; П. Пансу. (ред.). Structures métriques pour les Varétés riemanniennes [Метрические структуры для римановых многообразий]. Textes Mathématiques (на французском языке). 1. Париж: CEDIC. ISBN  2-7124-0714-8. МИСТЕР  0682063.
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология. Математические обзоры и монографии. 137. С приложением Джейка П. Соломона. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. п. 19. Дои:10.1090 / Surv / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. МИСТЕР  2292367.