Гармоническое суперпространство - Harmonic superspace

В суперсимметрия, гармоническое суперпространство^[1] это один из способов явно ковариантного обращения с суперсимметричными теориями с 8 действительными SUSY-генераторами. Оказывается, 8 настоящих генераторов SUSY псевдореальный, и после комплексирование, соответствуют тензорное произведение четырехмерного Спинор Дирака с фундаментальное представление СУ (2)_р. В факторное пространство ${displaystyle SU(2)_{R}/U(1)_{R}approx S^{2}simeq mathbb {CP} ^{1}}$, который является 2-сфера /Сфера Римана.

Гармоническое суперпространство явно ковариантным образом описывает N = 2 D = 4, N = 1 D = 5 и N = (1,0) D = 6 SUSY.

Существует много возможных систем координат над S²,^[2] но выбранный не только включает избыточные координаты, но также является координацией ${displaystyle SU(2)_{R}approx S^{3}}$. Мы получаем только S² после проекция на ${displaystyle U(1)_{R}approx S^{1}}$. Это конечно Расслоение Хопфа. Рассмотрим левое действие СУ (2)_р на себя. Затем мы можем распространить это на пространство комплекснозначных гладких функций над SU (2)_р. В частности, у нас есть подпространство функций, которые преобразуются как фундаментальное представление при SU (2)_р. Фундаментальное представление (с точностью до изоморфизма, конечно) - это двумерное комплексное векторное пространство. Обозначим индексы этого представления через i, j, k, ... = 1,2. Интересующее подпространство состоит из двух копий фундаментального представления. Под правильное действие пользователя U (1)_р - который переключается с любым левым действием - одна копия имеет «заряд» +1, а другая -1. Обозначим базисные функции ${displaystyle u^{pm i}}$.

${displaystyle left(u^{+i}ight)^{*}=u_{i}^{-}}$.

Избыточность координат определяется выражением

${displaystyle u^{+i}u_{i}^{-}=1}$.

Все можно интерпретировать с точки зрения алгебраическая геометрия. Проекция дается "калибровочным преобразованием" ${displaystyle u^{pm i} o e^{pm iphi }u^{pm i}}$ где φ - любое действительное число. Подумайте о S³ как U (1)_р-основной пакет над S² с ненулевым первым Черн класс. Тогда «поля» над S² характеризуются интегралом U (1)_р заряд, заданный правильным действием U (1)_р. Например, ты⁺ имеет заряд +1, а u⁻ из -1. По соглашению поля с зарядом + r обозначаются верхним индексом с r +, и то же самое для полей с зарядом -r. R-заряды аддитивны относительно умножения полей.

Сборы SUSY составляют ${displaystyle Q^{ialpha }}$, а соответствующие фермионные координаты равны ${displaystyle heta ^{ialpha }}$. Гармоническое суперпространство задается произведением обычного расширенного суперпространства (с 8 действительными фермионными координатами) на S² с нетривиальным U (1)_р свяжите его. Произведение несколько закручено тем, что фермионные координаты также заряжены U (1)_р. Это обвинение дается

${displaystyle heta ^{pm alpha }=u_{i}^{pm } heta ^{ialpha }}$.

Мы можем определить ковариантные производные ${displaystyle D_{alpha }^{pm }}$ со свойством, что они суперкоммутируют с преобразованиями SUSY, и ${displaystyle D_{alpha }^{pm }f(u)=0}$ куда ж - любая функция гармонических переменных. Аналогичным образом определим

${displaystyle D^{++}equiv u^{+i}{frac {partial }{partial u^{-i}}}}$

и

${displaystyle D^{--}equiv u^{-i}{frac {partial }{partial u^{+i}}}}$.

Киральное суперполе q с R-зарядом р удовлетворяет ${displaystyle D_{alpha }^{+}q=0}$. А скалярный гипермультиплет задается киральным суперполем ${displaystyle q^{+}}$. У нас есть дополнительное ограничение

${displaystyle D^{++}q^{+}=J^{+++}(q^{+},,u)}$.

Согласно Теорема Атьи-Зингера об индексе, пространство решений предыдущего ограничения представляет собой двумерное комплексное многообразие.

Отношение к кватернионам

Группа ${displaystyle SU(2)_{R}}$ можно отождествить с группой Ли кватернионы с единичной нормой при умножении. ${displaystyle SU(2)_{R}}$, и, следовательно, кватернионы действуют на касательное пространство расширенного суперпространства. Размерности бозонного пространства-времени тривиально преобразуются при ${displaystyle SU(2)_{R}}$ в то время как фермионные размерности преобразуются согласно фундаментальное представление.^[3] Левое умножение на кватернионы линейно. Теперь рассмотрим подпространство единичных кватернионов без вещественной компоненты, которое изоморфно S². Каждый элемент этого подпространства может действовать как мнимое число я в комплексной подалгебре кватернионов. Итак, для каждого элемента S², мы можем использовать соответствующую мнимую единицу для определения комплексно-реальный структура над расширенным суперпространством с 8 настоящими генераторами SUSY. Совокупность всех CR-структур для каждой точки в S² является гармоническим суперпространством.

Смотрите также

• Суперпространство
• Проективное суперпространство

Рекомендации

1. Гальперин Александр Самойлович; Иванов Е.А.; В. И. Огиевецкий; Сокачев Е.С. (2001). Гармоническое Суперпространство. Издательство Кембриджского университета. п. 306. ISBN  978-0-521-80164-5.
2. Само собой разумеется, что возможны и другие системы координат, и ничто физическое не зависит от выбора координат, но ты координаты имеют то преимущество, что они просты и удобны в использовании.
3. В 10D ${displaystyle {mathcal {N}}=(1,0)}$ SUSY с четырьмя пространственными измерениями, компактифицированными над гиперкэлерово многообразие, половина генераторов SUSY сломана, а остальные генераторы могут быть выражены с помощью гармонического суперпространства. Четыре компактифицированных пространственных измерения трансформируются как фундаментальное представление под ${displaystyle SU(2)_{R}}$.