Седьмая проблема Гильберта - Hilberts seventh problem - Wikipedia

Седьмая проблема Гильберта один из Дэвид Гильберт с список открытых математических задач поставлен в 1900 году. Это касается иррациональность и превосходство определенных номеров (Irrationalität und Transzendenz лучший специалист Зален).

Постановка задачи

Два конкретных эквивалента^[1] задаются вопросы:

В равнобедренный треугольник, если соотношение базы угол к углу при вершине алгебраический но не рационально, тогда соотношение между основанием и стороной всегда трансцендентный ?
Является ${ displaystyle a ^ {b}}$ всегда трансцендентный, за алгебраический ${ Displaystyle а не в {0,1 }}$ и иррациональный алгебраический ${ displaystyle b}$ ?

Решение

На вопрос (во второй форме) утвердительно ответил Александр Гельфонд в 1934 г. и усовершенствован Теодор Шнайдер в 1935 г. Этот результат известен как теорема Гельфонда или Теорема Гельфонда – Шнайдера. (Ограничение иррациональным б важно, так как легко увидеть, что ${ displaystyle a ^ {b}}$ является алгебраическим для алгебраического а и рациональный б.)

С точки зрения обобщений это так.

{ Displaystyle б ln { alpha} + ln { beta} = 0}

генерального линейная форма в логарифмах который изучал Гельфонд, а затем решил Алан Бейкер. Это называется гипотезой Гельфонда или Теорема Бейкера. Бейкер был награжден Медаль Филдса в 1970 году за это достижение.

Смотрите также

Число Гильберта или же Постоянная Гельфонда – Шнайдера

Библиография

Тийдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда – Бейкера и его приложениях». В Феликс Э. Браудер (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта. Труды симпозиумов по чистой математике. XXVIII.1. Американское математическое общество. С. 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl 0341.10026.
Манин, Ю. Я.; Панчишкин, А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел. Энциклопедия математических наук. 49 (Второе изд.). п. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002.

внешняя ссылка

Английский перевод оригинального обращения Гильберта

[1] Фельдман, Н.И.; Нестеренко, Ю. В. (1998). Паршин, А. Н .; Шафаревич, И. Р. (ред.). Трансцендентные числа. Теория чисел IV. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. стр.146 –147. ISBN 978-3-540-61467-8.

[1]