Однородный полином - Homogeneous polynomial

В математика, а однородный многочлениногда называют количественный в старых текстах это многочлен чьи ненулевые члены имеют одинаковые степень.^[1] Например, ${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$ - однородный многочлен степени 5 от двух переменных; сумма показателей в каждом члене всегда равна 5. Многочлен ${\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+z^{7}}$ не является однородным, потому что сумма показателей не совпадает от члена к члену. Многочлен однороден тогда и только тогда, когда он определяет однородная функция. An алгебраическая форма, или просто форма, это функция определяется однородным многочленом.^[2] А двоичная форма это форма от двух переменных. А форма также является функцией, определенной на векторное пространство, которая может быть выражена как однородная функция координат по любому основа.

Многочлен степени 0 всегда однороден; это просто элемент поле или же звенеть коэффициентов, обычно называемых константой или скаляром. Форма степени 1 - это линейная форма.^[3] Форма степени 2 - это квадратичная форма. В геометрия, то Евклидово расстояние это квадратный корень квадратичной формы.

Однородные полиномы повсеместно используются в математике и физике.^[4] Они играют фундаментальную роль в алгебраической геометрии как проективное алгебраическое многообразие определяется как множество общих нулей набора однородных многочленов.

Характеристики

Однородный многочлен определяет однородная функция. Это означает, что если многомерный полином п однороден по степени d, тогда

${\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

для каждого ${\displaystyle \lambda }$ в любом поле содержащий коэффициенты из п. Наоборот, если указанное выше соотношение верно для бесконечного числа ${\displaystyle \lambda }$ то многочлен однороден степени d.

В частности, если п однородно, то

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,}$

для каждого ${\displaystyle \lambda .}$ Это свойство является основополагающим в определении проективное разнообразие.

Любой ненулевой многочлен может быть разложен единственным способом в сумму однородных многочленов разных степеней, которые называются однородные компоненты полинома.

Учитывая кольцо многочленов ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ через поле (или, в более общем смысле, звенеть ) K, однородные полиномы степени d форма векторное пространство (или модуль ), обычно обозначаемый ${\displaystyle R_{d}.}$ Указанное выше единственное разложение означает, что ${\displaystyle R}$ это прямая сумма из ${\displaystyle R_{d}}$ (сумма по всем неотрицательные целые числа ).

Размерность векторного пространства (или бесплатный модуль ) ${\displaystyle R_{d}}$ - количество различных одночленов степени d в п переменных (то есть максимальное количество ненулевых членов в однородном полиноме степени d в п переменные). Он равен биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.}$

Однородный полином удовлетворяет Тождество Эйлера для однородных функций. То есть, если п является однородным многочленом степени d в неопределенности ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ есть, в зависимости от того, что коммутативное кольцо коэффициентов,

${\displaystyle dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},}$

куда ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}}$ обозначает формальная частная производная из п относительно ${\displaystyle x_{i}.}$

Гомогенизация

Неоднородный многочлен п(Икс₁,...,Икс_п) можно усреднить, введя дополнительную переменную Икс₀ и определяя однородный многочлен, иногда обозначаемый ^часп:^[5]

${\displaystyle {^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),}$

куда d это степень из п. Например, если

${\displaystyle P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,}$

тогда

${\displaystyle ^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.}$

Усредненный многочлен можно дегомогенизировать, задав дополнительную переменную Икс₀ = 1. То есть

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).}$

Смотрите также

• Мультиоднородный полином
• Квазиоднородный полином
• Диагональная форма
• Градуированная алгебра
• Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
• Многолинейная форма
• Многолинейная карта
• Поляризация алгебраической формы
• Полином Шура
• Символ дифференциального оператора

Рекомендации

1. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О'Ши: Использование алгебраической геометрии, 2-е изд., Стр. 2. Springer-Verlag, 2005.
2. Однако, поскольку некоторые авторы не проводят четкого различия между полиномом и связанной с ним функцией, термины однородный многочлен и форма иногда рассматриваются как синонимы.
3. Линейные формы определены только для конечномерного векторного пространства и поэтому должны отличаться от линейные функционалы, которые определены для каждого векторного пространства. «Линейный функционал» редко используется для конечномерных векторных пространств.
4. Однородные полиномы в физике часто возникают как следствие размерный анализ, где измеренные величины должны совпадать в реальных задачах.
5. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О'Ши: Использование алгебраической геометрии, 2-е изд., Стр. 35. Springer-Verlag, 2005.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Однородные многочлены в Wikimedia Commons
• Вайсштейн, Эрик В. «Однородный многочлен». MathWorld.