Крючки атом - Hookes atom - Wikipedia

Атом Гука, также известный как фисгармония или же кукий, относится к искусственному гелий -подобный атом, где Кулоновский потенциал взаимодействия электрона с ядром заменяется на гармонический потенциал.[1][2] Эта система имеет важное значение, поскольку при определенных значениях силовой постоянной, определяющей гармоническое удержание, точно решаемая[3] основное состояние многоэлектронная проблема что явно включает электронная корреляция. Таким образом, он может дать представление о квантовой корреляции (хотя и при наличии нефизического ядерного потенциала) и может выступать в качестве тестовой системы для оценки точности приближенные квантово-химические методы для решения Уравнение Шредингера.[4][5] Название «атом Гука» происходит потому, что гармонический потенциал, используемый для описания взаимодействия электрона с ядром, является следствием Закон Гука.

Определение

Найма атомные единицы, то Гамильтониан определение атома Гука

Как написано, первые два члена представляют собой операторы кинетической энергии двух электронов, третий член - это гармонический электрон-ядерный потенциал, а последний член - потенциал электрон-электронного взаимодействия. Нерелятивистский гамильтониан атома гелия отличается только заменой:

Решение

Решаемое уравнение представляет собой двухэлектронное уравнение Шредингера:

Для произвольных значений силовой постоянной k, уравнение Шредингера не имеет аналитического решения. Однако для счетно бесконечный количество значений, например k= ¼, можно получить простые решения в замкнутой форме.[5] Учитывая искусственный характер системы, это ограничение не снижает полезности решения.

Для решения система сначала преобразуется из декартовых электронных координат, (р1,р2), в координаты центра масс, (р,ты), определяется как

При этом преобразовании гамильтониан становится сепарабельным, то есть |р1 - р2| термин, связывающий два электрона, удален (и не заменен какой-либо другой формой), позволяя общий разделение переменных метод, который будет применяться для дальнейшего решения волновой функции в виде . Исходное уравнение Шредингера затем заменяется следующим:

Первое уравнение для уравнение Шредингера для изотропного квантовый гармонический осциллятор с энергией основного состояния и (ненормированная) волновая функция

Асимптотически второе уравнение снова ведет себя как гармонический осциллятор вида и вращательно-инвариантное основное состояние может быть выражено, в общем, как для какой-то функции . Давно отмечалось, что ж(ты) очень хорошо аппроксимируется линейной функцией от ты.[2] Спустя 30 лет после предложения модели было найдено точное решение для k=¼,[3] и было видно, что ж(ты)=1+ты/ 2. Позже было показано, что существует много значений k которые приводят к точному решению для основного состояния,[5] как будет показано ниже.

Разложение и выражая Лапласиан в сферические координаты,

еще один разлагает радиальную волновую функцию как который удаляет первую производную, чтобы дать

Асимптотика поощряет решение формы

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет является

Это уравнение поддается решению с помощью Метод Фробениуса. То есть, выражается как

для некоторых и которые удовлетворяют:

Два решения указательного уравнения: и из которых берется первое, поскольку оно дает регулярные (ограниченные, нормализуемый ) волновая функция. Для того чтобы существовало простое решение, бесконечный ряд стремится к завершению, и именно здесь конкретные значения k используются для точного решения в закрытой форме. Завершение полинома в любом конкретном порядке может быть выполнено с различными значениями k определяющий гамильтониан. Таким образом, существует бесконечное количество систем, различающихся только силой гармонического сдерживания, с точными решениями для основного состояния. Проще всего навязать аk = 0 для k ≥ 2 должны выполняться два условия:

Это прямо заставляет а2 = 0 и а3 = 0 соответственно, и как следствие трехчленного спада все более высокие коэффициенты также обращаются в нуль. Решение для и дает

и радиальная волновая функция

Преобразование обратно в

основное состояние (с и энергия ) наконец

Комбинирование, нормализация и преобразование обратно к исходным координатам дает волновую функцию основного состояния:

Соответствующая полная энергия основного состояния тогда равна .

Замечания

Точное основное состояние электронная плотность атома Гука для частного случая является[4]

Отсюда видно, что радиальная производная плотности обращается в нуль на ядре. Это резко контрастирует с реальным (нерелятивистским) атомом гелия, в котором плотность показывает острие на ядре в результате неограниченного кулоновского потенциала.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Лучян, Пила (2007). Идеи квантовой химии. Амстердам: Эльзевир. С. 185–188. ISBN  978-0-444-52227-6.
  2. ^ а б Н. Р. Кестнер; О. Синаноглу (1962). «Исследование корреляции электронов в гелиеподобных системах с использованием точно решаемой модели». Phys. Rev. 128 (6): 2687–2692. Bibcode:1962ПхРв..128.2687К. Дои:10.1103 / PhysRev.128.2687.
  3. ^ а б С. Кайс; Д. Р. Хершбах; Р. Д. Левин (1989). «Масштабирование размеров как операция симметрии». J. Chem. Phys. 91 (12): 7791. Bibcode:1989ЖЧФ..91.7791К. Дои:10.1063/1.457247.
  4. ^ а б С. Кайс; Д. Р. Хершбах; Н. С. Хэнди; К. В. Мюррей; Дж. Дж. Лэминг (1993). «Функционалы плотности и размерная перенормировка для точно решаемой модели». J. Chem. Phys. 99 (1): 417–425. Bibcode:1993ЖЧФ..99..417К. Дои:10.1063/1.465765.
  5. ^ а б c М. Таут (1993). «Два электрона во внешнем осцилляторном потенциале: частные аналитические решения проблемы кулоновской корреляции». Phys. Ред. А. 48 (5): 3561–3566. Bibcode:1993ПхРвА..48.3561Т. Дои:10.1103 / PhysRevA.48.3561. PMID  9910020.

дальнейшее чтение