Инвариант Хопфа - Hopf invariant
В математика, в частности в алгебраическая топология, то Инвариант Хопфа это гомотопия инвариант некоторых отображений между n-сферы.
Мотивация
В 1931 г. Хайнц Хопф используемый Параллели Клиффорда построить Карта Хопфа
- ,
и доказал, что существенно, т.е. не гомотопный к постоянной карте, используя тот факт, что число связей кругов
равно 1, для любого .
Позже было показано, что гомотопическая группа это бесконечный циклическая группа Сгенерированно с помощью . В 1951 г. Жан-Пьер Серр доказал, что рациональная гомотопия группы
для нечетномерной сферы ( нечетные) равны нулю, если равно 0 или п. Однако для четномерной сферы (п даже), есть еще один бит бесконечной циклической гомотопии в степени .
Определение
Позволять быть непрерывная карта (предполагать ). Тогда мы можем сформировать клеточный комплекс
где это -мерный диск прикреплен к через Группы клеточных цепей. просто свободно генерируются на -клетки в градусах , так что они в степени 0, и и ноль везде. Клеточные (ко-) гомологии - это (ко) гомологии этого цепной комплекс, и поскольку все граничные гомоморфизмы должны быть нулевыми (напомним, что ) когомологии
Обозначим образующие групп когомологий через
- и
По причинам габаритов, все чашки между этими классами должны быть тривиальными, кроме . Таким образом, как кольцокогомологии
Целое число это Инвариант Хопфа карты .
Свойства
Теорема: Карта является гомоморфизмом. Более того, если даже, карты на .
Инвариант Хопфа равен для Карты Хопфа, где , соответствующие вещественным алгебрам с делением соответственно и расслоению отправка направления на сфере в подпространство, которое она охватывает. Это теорема, сначала доказанная Фрэнк Адамс, а затем Адамсом и Майкл Атья с методами топологическая K-теория, что это единственные отображения с инвариантом Хопфа 1.
Обобщения для стабильных карт
Можно определить очень общее понятие инварианта Хопфа, но оно требует некоторого теоретического обоснования гомотопии:
Позволять обозначают векторное пространство и его одноточечная компактификация, т.е. и
- для некоторых .
Если - любое заостренное пространство (как это неявно указано в предыдущем разделе), и если мы возьмем точка в бесконечности быть исходной точкой , то мы можем сформировать изделия клина
- .
Теперь позвольте
быть устойчивым отображением, т.е. устойчивым относительно уменьшенная подвеска функтор. В (стабильный) геометрический инвариант Хопфа из является
- ,
элемент конюшни -эквивариантная гомотопическая группа отображений из к . Здесь «стабильный» означает «стабильный в подвешенном состоянии», т.е. (или если хотите) обычных эквивариантных гомотопических групп; и -Действие - это тривиальное действие на и изменение двух факторов на . Если мы позволим
обозначим каноническое диагональное отображение и тождество, то инвариант Хопфа определяется следующим:
Эта карта изначально является картой из
- к ,
но при прямом пределе он становится рекламируемым элементом стабильной гомотопии -эквивариантная группа отображений.Существует также нестабильная версия инварианта Хопфа , для которого необходимо отслеживать векторное пространство .
использованная литература
- Адамс, Дж. Франк (1960), «Об отсутствии элементов инвариантной единицы Хопфа», Анналы математики, 72 (1): 20–104, CiteSeerX 10.1.1.299.4490, Дои:10.2307/1970147, JSTOR 1970147, Г-Н 0141119
- Адамс, Дж. Франк; Атья, Майкл Ф. (1966), "K-теория и инвариант Хопфа", Ежеквартальный журнал математики, 17 (1): 31–38, Дои:10.1093 / qmath / 17.1.31, Г-Н 0198460
- Крабб, Майкл; Раники, Андрей (2006). «Геометрический инвариант Хопфа» (PDF).
- Хопф, Хайнц (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen, 104: 637–665, Дои:10.1007 / BF01457962, ISSN 0025-5831
- Шокуров, А. (2001) [1994], «Инвариант Хопфа», Энциклопедия математики, EMS Press