Теорема Хопкинса – Левицки - Hopkins–Levitzki theorem

В филиале абстрактная алгебра называется теория колец, то Теорема Акизуки – Хопкинса – Левицки. соединяет состояние нисходящей цепочки и условие возрастающей цепи в модули над полупримачными кольцами. Кольцо р (с 1) называется полупервичный если р/J(р) является полупростой и J(р) это нильпотентный идеал, куда J(р) обозначает Радикал Якобсона. Теорема утверждает, что если р является полупримарным кольцом и M является р модуль, три условия модуля Нётерян, Артиниан и "имеет серия композиций "эквивалентны. Без полупервичного условия единственное истинное значение состоит в том, что если M имеет композиционный ряд, то M одновременно нетериан и артиниан.

Текущая форма теоремы взята из статьи Чарльза Хопкинса и статьи Яков Левицки, оба в 1939 году. По этой причине его часто называют Теорема Хопкинса – Левицки. тем не мение Ясуо Акизуки иногда включается, так как он доказал результат^[1] за коммутативные кольца несколькими годами ранее, в 1935 г.

Поскольку известно, что правые артиновские кольца полупримарны, прямое следствие теоремы: артиново справа кольцо также правый Нётериан. Аналогичное утверждение верно и для артиновых левых колец. В целом для Artinian модулей это не так, потому что есть примеры артинианских модулей, которые не являются нётерскими.

Еще одно прямое следствие: если р правильный Артиниан, то р остается артиновым тогда и только тогда, когда оно остается нётеровым.

Эскиз доказательства

Вот доказательство следующего: Пусть р - полупримарное кольцо и M левый р-модуль. Если M либо артинианский, либо нётерский, то M имеет композиционную серию.^[2] (Обратное верно для любого кольца.)

Позволять J быть радикалом р. Набор ${\displaystyle F_{i}=J^{i-1}M/J^{i}M}$. В р модуль ${\displaystyle F_{i}}$ может тогда рассматриваться как ${\displaystyle R/J}$-модуль, потому что J содержится в аннигилятор из ${\displaystyle F_{i}}$. Каждый ${\displaystyle F_{i}}$ это полупростой ${\displaystyle R/J}$-модуль, потому что ${\displaystyle R/J}$ - полупростое кольцо. Кроме того, поскольку J нильпотентна, только конечное число ${\displaystyle F_{i}}$ ненулевые. Если M артинианский (или нётерский), то ${\displaystyle F_{i}}$ имеет конечный композиционный ряд. Укладка серии композиций из ${\displaystyle F_{i}}$ от начала до конца получаем композиционный ряд для M.

В категориях Гротендика

Существует несколько обобщений и расширений теоремы. Одна проблема Категории Гротендика: Если грамм является категорией Гротендика с артиновым генератором, то каждый артиновый объект в грамм нетерианский.^[3]

Смотрите также

• Артинианский модуль
• Нётерский модуль
• Композиция серии

Рекомендации

1. Акизуки, Ясуо (1935). "Teilerkettensatz und Vielfachensatz". Proc. Физ.-мат. Soc. JPN. 17: 337–345.
2. Кон 2003, Теорема 5.3.9
3. Тома Альбу (2010). "Семидесятилетний юбилей: Теорема Хопкинса-Левицки". В Тома Альбу (ред.). Теория кольца и модуля. Springer. ISBN  9783034600071.

• Кон, П. (2003), Базовая алгебра: группы, кольца и поля
• Чарльз Хопкинс (1939) Кольца с условием минимальности левых идеалов, Анна. математики. (2) 40, страницы 712–730.
• Т. Ю. Лам (2001) Первый курс некоммутативных колец, Springer-Verlag. стр.55 ISBN  0-387-95183-0
• Якоб Левицки (1939) На кольцах, удовлетворяющих условию минимума правых идеалов, Compositio Mathematica, т. 7, стр. 214–222.