Индуцированная топология - Induced topology

По поводу топологии на подпространстве топологического пространства см. Топология подпространства.

В топология и смежные области математика, индуцированная топология на топологическое пространство это топология что делает данный (побуждение) функция или набор функций непрерывный из этого топологического пространства.^[1][2]

А коиндуцированная топология или же окончательная топология делает данный (соучастие) совокупность функций, непрерывных в этом топологическом пространстве.^[3]

Определение

Случай всего одной функции

Позволять ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ быть наборами, ${\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}}$.

Если ${\displaystyle \tau _{0}}$ топология на ${\displaystyle X_{0}}$, то топология, созданная на ${\displaystyle X_{1}}$ к ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle \{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}}$.

Если ${\displaystyle \tau _{1}}$ топология на ${\displaystyle X_{1}}$, то топология, наведенная на ${\displaystyle X_{0}}$ к ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}}$.

Самый простой способ запомнить приведенные выше определения - это заметить, что поиск обратное изображение используется в обоих. Это потому, что обратное изображение сохраняет союз и пересечение. Нахождение прямое изображение не сохраняет пересечения вообще. Вот пример, когда это становится препятствием. Рассмотрим набор ${\displaystyle X_{0}=\{-2,-1,1,2\}}$ с топологией ${\displaystyle \{\{-2,-1\},\{1,2\}\}}$, множество ${\displaystyle X_{1}=\{-1,0,1\}}$ и функция ${\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}}$ такой, что ${\displaystyle f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1}$. Набор подмножеств ${\displaystyle \tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}}$ не топология, потому что ${\displaystyle \{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}}$ но ${\displaystyle \{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}}$.

Ниже приведены эквивалентные определения.

Топология ${\displaystyle \tau _{1}}$ наложен на ${\displaystyle X_{1}}$ к ${\displaystyle f}$ это лучшая топология такой, что ${\displaystyle f}$ является непрерывный ${\displaystyle (X_{0},\tau _{0})\to (X_{1},\tau _{1})}$. Это частный случай окончательная топология на ${\displaystyle X_{1}}$.

Топология ${\displaystyle \tau _{0}}$ наведен на ${\displaystyle X_{0}}$ к ${\displaystyle f}$ это грубейшая топология такой, что ${\displaystyle f}$ является непрерывный ${\displaystyle (X_{0},\tau _{0})\to (X_{1},\tau _{1})}$. Это частный случай начальная топология на ${\displaystyle X_{0}}$.

Общий случай

Учитывая набор Икс и индексированная семья (Y_я)_я∈я из топологические пространства с функциями

${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$

топология ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle X}$ индуцированная этими функциями грубейшая топология на Икс так что каждый

${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$

является непрерывный.^[1][2]

Явно индуцированная топология - это совокупность открытых множеств генерируется всеми наборами вида ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$, куда ${\displaystyle U}$ является открытый набор в ${\displaystyle Y_{i}}$ для некоторых я ∈ япри конечных пересечениях и произвольных объединениях. Наборы ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ часто называют комплекты цилиндров.Если я содержит ровно один элемент, все открытые множества ${\displaystyle (X,\tau )}$ представляют собой комплекты цилиндров.

Примеры

• В факторная топология - топология, порожденная фактор-отображением.
• В топология продукта - топология, индуцированная проекциями ${\displaystyle {\text{proj}}_{j}:X\to X_{j}}$.
• Если ${\displaystyle f:X_{0}\to X}$ является карта включения, тогда ${\displaystyle f}$ побуждает к ${\displaystyle X_{0}}$ в топология подпространства.
• В слабая топология индуцировано двойной на топологическое векторное пространство.^[1]

Рекомендации

1. Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
2. Адамсон, Иэн Т. (1996). «Индуцированные и коиндуцированные топологии». Рабочая тетрадь по общей топологии. Биркхойзер, Бостон, Массачусетс. п. 23. Дои:10.1007/978-0-8176-8126-5_3. Получено 21 июля, 2020. ... топология, индуцированная на E семейством отображений ...
3. Сингх, Тедж Бахадур (5 мая 2013 г.). «Элементы топологии». Books.Google.com. CRC Press. Получено 21 июля, 2020.

Источники

• Ху, Сзе-Цен (1969). Элементы общей топологии. Холден-Дэй.

Смотрите также

• Естественная топология
• В начальная топология и окончательная топология используются как синонимы, хотя обычно только в том случае, когда (со) индуцирующая коллекция состоит из более чем одной функции.