Индуктивный размер - Inductive dimension

В математической области топология, то индуктивный размер из топологическое пространство Икс имеет одно из двух значений, малый индуктивный размер инд (Икс) или большой индуктивный размер Ind (Икс). Они основаны на наблюдении, что в п-размерный Евклидово пространство р^п, (п - 1) -мерный сферы (это границы из п-мерные шары) имеют размерность п - 1. Следовательно, должна быть возможность определить размер пространства индуктивно с точки зрения размеров границ подходящих открытые наборы.

Малая и большая индуктивные размерности - это два из трех наиболее распространенных способов уловить понятие «размерности» для топологического пространства способом, который зависит только от топологии (а не, скажем, от свойств объекта). метрическое пространство ). Другой - это Размер покрытия Лебега. Термин «топологическая размерность» обычно понимается как относящаяся к покрывающей размерности Лебега. Для «достаточно хороших» пространств три меры размерности равны.

Формальное определение

Мы хотим, чтобы размер точки был равен 0, а точка имела пустую границу, поэтому мы начинаем с

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

Тогда индуктивно ind (Икс) самый маленький п так что для каждого ${\displaystyle x\in X}$ и каждый открытый набор U содержащий Икс, есть открытый набор V содержащий Икс, так что закрытие из V это подмножество из U, а граница V имеет небольшой индуктивный размер, меньший или равный п - 1. (Если Икс является евклидовым п-мерное пространство, V может быть выбран в качестве п-мерный шар с центром в Икс.)

Для большой индуктивной размерности мы ограничиваем выбор V еще дальше; Ind (Икс) самый маленький п так что для каждого закрыто подмножество F каждого открытого подмножества U из Икс, есть открытый V между ними (то есть F это подмножество V и закрытие V это подмножество U) такая, что граница V имеет большой индуктивный размер, меньший или равный п − 1.

Связь между измерениями

Позволять ${\displaystyle \dim }$ - размерность покрытия Лебега. Для любого топологическое пространство Икс, у нас есть

${\displaystyle \dim X=0}$ если и только если ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

Теорема Урысона заявляет, что когда Икс это нормальное пространство с счетная база, тогда

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Такие пространства и есть отделяемый и метризуемый Икс (видеть Теорема Урысона о метризации ).

В Теорема Небелинга – Понтрягина затем утверждает, что такие пространства конечной размерности характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства Евклидовы пространства, с их обычной топологией. В Теорема Менгера – Небелинга (1932) утверждает, что если ${\displaystyle X}$ компактно метрически разделимо и размерно ${\displaystyle n}$, то оно вкладывается как подпространство евклидова пространства размерности ${\displaystyle 2n+1}$. (Георг Небелинг был студентом Карл Менгер. Он представил Пространство Небелинга, подпространство ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$ состоящий из точек не менее ${\displaystyle n+1}$ координирует бытие иррациональные числа, обладающий универсальными свойствами для вложения пространств размерности ${\displaystyle n}$.)

Предполагая только Икс метризуемый имеем (Мирослав Катетов )

инд Икс ≤ Ind Икс = тусклый Икс;

или предполагая Икс компактный и Хаусдорф (Александров П.С. )

тусклый Икс ≤ инд Икс ≤ Ind Икс.

Либо неравенство здесь может быть строгим; пример Владимира В. Филиппова показывает, что два индуктивных размера могут различаться.

Разделимое метрическое пространство Икс удовлетворяет неравенству ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$ тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle X}$ и каждое непрерывное отображение ${\displaystyle f:A\to S^{n}}$ существует непрерывное продолжение ${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Крилли, Тони, 2005, «Пол Урысон и Карл Менгер: статьи по теории размерности» в Граттан-Гиннесс, И., изд., Достопримечательности западной математики. Эльзевьер: 844-55.
• Р. Энгелькинг, Теория измерений. Конечное и бесконечное, Heldermann Verlag (1995), ISBN  3-88538-010-2.
• В. В. Федорчук, Основы теории размерностей, появляясь в Энциклопедия математических наук, Том 17, Общая топология I, (1993) А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Берлин ISBN  3-540-18178-4.
• Филиппов В.В., Об индуктивной размерности продукта бикомпакта, Советский. Математика. Докл., 13 (1972), N ° 1, 250-254.
• А. Р. Пирс, Теория размерностей общих пространств, Издательство Кембриджского университета (1975).