Закон обратных квадратов - Inverse-square law

S представляет собой источник света, а r представляет собой измеренные точки. Линии представляют поток исходящие от источников и потоков. Общее количество линии потока зависит от силы источника света и является постоянным с увеличением расстояния, где большая плотность силовых линий (линий на единицу площади) означает более сильное энергетическое поле. Плотность силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, потому что площадь поверхности сферы увеличивается пропорционально квадрату радиуса. Таким образом, напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В наука, закон обратных квадратов есть ли научный закон заявляя, что указанный физический количество является обратно пропорциональный к квадрат из расстояние от источника этой физической величины. Основную причину этого можно понять как геометрическое растворение, соответствующее излучению точечного источника, в трехмерном пространстве.

Радар энергия увеличивается как во время передачи сигнала, так и во время отраженный вернуться, так что обратный квадрат для обоих путей означает, что радар будет получать энергию согласно обратному четвертая степень ассортимента.

Чтобы предотвратить разбавление энергия при распространении сигнала могут использоваться определенные методы, такие как волновод, который действует как канал для воды, или как ствол пистолета ограничивает расширение горячего газа одним измерение чтобы предотвратить потерю передачи энергии в пуля.

Формула

Математически обозначены (см. ∝ ):

${\displaystyle {\text{intensity}}\ \propto \ {\frac {1}{{\text{distance}}^{2}}}\,}$

Математически это также можно выразить как:

${\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}$

или как формулировка постоянной величины:

${\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}$

В расхождение из векторное поле которая является равнодействующей радиальных полей закона обратных квадратов по отношению к одному или нескольким источникам, везде пропорциональна силе локальных источников и, следовательно, равна нулю внешних источников. Закон всемирного тяготения Ньютона следует закону обратных квадратов, как и эффекты электрический, магнитный, свет, звук, и радиация явления.

Обоснование

Закон обратных квадратов обычно применяется, когда некоторая сила, энергия или другое сохраненное количество равномерно излучается наружу от точечный источник в трехмерное пространство. Поскольку площадь поверхности из сфера (что составляет 4πр²) пропорционален квадрату радиуса, так как испускаемое излучение удаляется от источника, он распространяется по площади, которая увеличивается пропорционально квадрату расстояния от источника. Следовательно, интенсивность излучения, проходящего через любую единицу площади (прямо напротив точечного источника), обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного источника. Закон Гаусса для гравитации аналогичным образом применимо и может использоваться с любой физической величиной, которая действует в соответствии с соотношением обратных квадратов.

Вхождения

Гравитация

Гравитация притяжение между объектами, имеющими массу. Закон Ньютона гласит:

Сила гравитационного притяжения между двумя точечные массы прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила всегда притягательна и действует по соединяющей их линии.^{[нужна цитата ]}

Если распределение материи в каждом теле сферически симметрично, то объекты можно рассматривать как точечные массы без приближения, как показано на теорема оболочек. В противном случае, если мы хотим вычислить притяжение между массивными телами, нам нужно добавить все силы притяжения точка-точка векторно, и результирующее притяжение может не быть точным обратным квадратом. Однако, если расстояние между массивными телами намного больше по сравнению с их размерами, то с хорошим приближением разумно рассматривать массы как точечную массу, находящуюся на уровне объекта. центр массы при расчете силы тяжести.

Как закон всемирного тяготения, это закон был предложен в 1645 г. Исмаэль Буллиалдус. Но Буллиальдус не принял Второй и третий законы Кеплера, и он не оценил Кристиан Гюйгенс Решение для кругового движения (движение по прямой, оттягиваемое центральной силой). Действительно, Буллиальдус утверждал, что сила солнца притягивала в афелии и отталкивала в перигелии. Роберт Гук и Джованни Альфонсо Борелли оба истолковали гравитацию в 1666 году как силу притяжения^[1] (Лекция Гука «О гравитации» в Лондонском Королевском обществе 21 марта;^[2] "Теория планет" Борелли, опубликованная позднее в 1666 году.^[3]). Лекция Гука 1670 г. Грешем объяснила, что гравитация применима ко «всем небесным телам», и добавила принципы, согласно которым сила гравитации уменьшается с расстоянием, и что при отсутствии такой силы тела движутся по прямым линиям. К 1679 году Гук считал, что гравитация имеет обратную квадратичную зависимость, и сообщил об этом в письме к Исаак Ньютон:^[4] Я предполагаю, что притяжение всегда в два раза пропорционально расстоянию от центра..^[5]

Гук по-прежнему с горечью относился к заявлению Ньютона об изобретении этого принципа, хотя Ньютон 1686 г. Principia признал, что Гук, наряду с Реном и Галлеем, отдельно оценил закон обратных квадратов в Солнечной системе,^[6] а также отдать должное Буллиальдусу.^[7]

Электростатика

Сила притяжения или отталкивания между двумя электрически заряженными частицами, помимо того, что она прямо пропорциональна произведению электрических зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; это известно как Закон Кулона. Отклонение показателя степени от 2 составляет менее одной десятой части.¹⁵.^[8]

${\displaystyle F=k_{\text{e}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$

Световое и другое электромагнитное излучение

В интенсивность (или освещенность или сияние ) из свет или другие линейные волны, исходящие от точечный источник (энергия на единицу площади, перпендикулярной источнику) обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника; таким образом, объект (такого же размера) вдвое дальше, получает только четверть энергия (в тот же период).

В более общем плане освещенность, т.е. интенсивность (или мощность на единицу площади в направлении распространение ), из сферический волновой фронт изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника (при условии отсутствия потерь, вызванных поглощение или рассеяние ).

Например, интенсивность излучения от солнце это 9126 Вт за квадратный метр на расстоянии Меркурий (0.387 Австралия ); но всего 1367 Вт на квадратный метр на расстоянии Земля (1 а.е.) - увеличение расстояния примерно в 3 раза приводит к уменьшению интенсивности излучения примерно в 9 раз.

Для не-изотропные радиаторы такие как параболические антенны, фары и лазеры, эффективное начало находится далеко за апертурой пучка. Если вы находитесь близко к исходной точке, вам не нужно далеко уходить, чтобы удвоить радиус, поэтому сигнал быстро падает. Когда вы находитесь далеко от исходной точки и все еще имеете сильный сигнал, как в случае с лазером, вам нужно пройти очень далеко, чтобы удвоить радиус и уменьшить сигнал. Это означает, что у вас более сильный сигнал или усиление антенны в направлении узкого луча относительно широкого луча во всех направлениях изотропная антенна.

В фотография и сценическое освещение, закон обратных квадратов используется для определения «спада» или разницы в освещении объекта, когда он приближается к источнику света или дальше от него. Для быстрого приближения достаточно помнить, что удвоение расстояния уменьшает освещенность на четверть;^[9] или аналогично, чтобы уменьшить освещенность вдвое, увеличьте расстояние в 1,4 раза ( квадратный корень из 2 ), а для двойного освещения уменьшите расстояние до 0,7 (квадратный корень из 1/2). Когда источник света не является точечным источником, правило обратных квадратов часто остается полезным приближением; когда размер источника света составляет менее одной пятой расстояния до объекта, ошибка вычисления составляет менее 1%.^[10]

Дробное уменьшение электромагнитного флюенс (Φ) для косвенно ионизирующего излучения с увеличением расстояния от точечного источника можно рассчитать с помощью закона обратных квадратов. Поскольку выбросы точечного источника имеют радиальное направление, они пересекаются перпендикулярно. Площадь такой оболочки 4πр ² где р радиальное расстояние от центра. Закон особенно важен в диагностике рентгенография и лучевая терапия планирование лечения, хотя эта пропорциональность не выполняется на практике, если только размеры источника намного меньше расстояния. Как указано в Теория Фурье тепла, «поскольку точечный источник увеличивается на расстояние, его излучение ослаблено пропорционально греху угла увеличивающейся дуги окружности от точки происхождения».

пример

Позволять п полная мощность, излучаемая точечным источником (например, всенаправленным изотропный радиатор ). На больших расстояниях от источника (по сравнению с размером источника) эта мощность распределяется по все более и более крупным сферическим поверхностям по мере увеличения расстояния от источника. Поскольку площадь поверхности сферы радиуса р является А = 4πr ², то интенсивность я (мощность на единицу площади) излучения на расстоянии р является

${\displaystyle I={\frac {P}{A}}={\frac {P}{4\pi r^{2}}}.\,}$

Энергия или интенсивность уменьшаются (делятся на 4) по мере удаления р удваивается; если измерять в дБ уменьшится на 3,01 дБ при удвоении расстояния. При обращении к измерениям мощности величин, соотношение может быть выражено как уровень в децибелах путем оценки в десять раз по основанию 10 логарифм отношения измеряемой величины к опорному значению.

Звук в газе

В акустика, то звуковое давление из сферический волновой фронт излучение точечного источника уменьшается на 50% по мере увеличения расстояния р удваивается; измеряется в дБ, уменьшение по-прежнему составляет 6,02 дБ, поскольку дБ представляет собой отношение интенсивностей. Отношение давлений (в отличие от отношения мощностей) не обратно квадратично, а обратно пропорционально (закон обратного расстояния):

${\displaystyle p\ \propto \ {\frac {1}{r}}\,}$

То же верно и для компонента скорость частицы ${\displaystyle v\,}$ это в фазе с мгновенным звуковым давлением ${\displaystyle p\,}$:

${\displaystyle v\ \propto {\frac {1}{r}}\ \,}$

в ближнее поле это квадратурная составляющая скорости частицы, которая на 90 ° не совпадает по фазе со звуковым давлением и не влияет на усредненную по времени энергию или интенсивность звука. В интенсивность звука продукт RMS звуковое давление и в фазе компонент среднеквадратичной скорости частиц, оба из которых обратно пропорциональны. Соответственно, интенсивность соответствует обратному квадрату:

${\displaystyle I\ =\ pv\ \propto \ {\frac {1}{r^{2}}}.\,}$

Интерпретация теории поля

Для безвихревое векторное поле в трехмерном пространстве закон обратных квадратов соответствует тому свойству, что расхождение равен нулю вне источника. Это можно обобщить на более высокие измерения. Обычно для безвихревого векторного поля в п-размерный Евклидово пространство, интенсивность "I" векторного поля спадает с расстоянием "r" после обратного (п − 1)^th сила закона

${\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}$

при условии, что пространство за пределами источника не имеет расхождений.^{[нужна цитата ]}

История

Джон Дамблтон 14 века Оксфордские калькуляторы, был одним из первых, кто выразил функциональные взаимосвязи в графической форме. Он дал доказательство теорема о средней скорости заявив, что «широта равномерно дифференцированного движения соответствует степени средней точки», и использовал этот метод для изучения количественного уменьшения интенсивности освещения в его Сумма логики и философии Naturalis (ок. 1349 г.), утверждая, что расстояние не было линейно пропорционально расстоянию, но не смог раскрыть закон обратных квадратов.^[11]

В предложении 9 книги 1 своей книги Ad Vitellionem paralipomen, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), астроном Иоганн Кеплер утверждал, что распространение света от точечного источника подчиняется закону обратных квадратов:^[12][13]

Оригинал: Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, ampior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, converim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, Quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.

Перевод: Так же, как [соотношение] сферических поверхностей, для которых источником света является центр, [является] от более широкого к более узкому, так и плотность или стойкость лучей света в более узком [пространстве] по направлению к более просторные сферические поверхности, то есть наоборот. Поскольку согласно [предложениям] 6 и 7, в более узкой сферической поверхности столько же света, сколько в более широкой, поэтому здесь он гораздо более сжат и плотнее, чем там.

В 1645 г. в своей книге Astronomia Philolaica ..., французский астроном Исмаэль Буллиальдус (1605–1694) опроверг предположение Иоганна Кеплера о том, что «гравитация»^[14] ослабевает как величина, обратная расстоянию; вместо этого, утверждал Буллиалдус, "гравитация" ослабевает как обратный квадрат расстояния:^[15][16]

Оригинал: Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi ampitudinem emissa квази-виды solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur au maioruloi ratio imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervallorum, sed eversa.

ПереводЧто касается силы, с помощью которой Солнце захватывает или удерживает планеты и которая, будучи телесной, функционирует как руки, то она излучается прямыми линиями по всему миру, и, как разновидности Солнца, он вращается вместе с телом Солнца; теперь, видя, что он телесный, он становится слабее и ослабевает на большем расстоянии или интервале, и отношение его уменьшения силы такое же, как и в случае со светом, а именно двойная пропорция, но обратно пропорциональная расстоянию [то есть 1 / д²].

В Англии англиканский епископ Сет Уорд (1617–1689) опубликовал идеи Буллиальдуса в своей критике. В Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae foundationa inquisitio brevis (1653) и опубликовал планетарную астрономию Кеплера в своей книге Астрономия геометрическая (1656).

В 1663–1664 гг. Английский ученый Роберт Гук писал свою книгу Микрография (1666), в котором он обсуждал, среди прочего, связь между высотой атмосферы и барометрическим давлением на поверхности. Поскольку атмосфера окружает Землю, которая сама по себе является сферой, объем атмосферы, имеющий отношение к любой единице площади земной поверхности, представляет собой усеченный конус (который простирается от центра Земли до космического вакуума; очевидно, только часть конуса от поверхности земли до космических медведей на поверхности земли). Хотя объем конуса пропорционален кубу его высоты, Гук утверждал, что давление воздуха у поверхности земли вместо этого пропорционально высоте атмосферы, потому что сила тяжести уменьшается с высотой. Хотя Гук явно не заявлял об этом, соотношение, которое он предложил, будет верным только в том случае, если сила тяжести уменьшается как обратный квадрат расстояния от центра Земли.^[17][18]

Смотрите также

• Поток
• Антенна (радио)
• Закон Гаусса
• Законы движения планет Кеплера
• Проблема Кеплера
• Телекоммуникации, в частности:
  • Уильям Томсон, первый барон Кельвин
  • Протоколы маршрутизации с учетом мощности
• Обратная пропорциональность
• Мультипликативный обратный
• Распад расстояния
• Парадокс Ферми

использованная литература

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Администрация общих служб документ: «Федеральный стандарт 1037С».

1. Гравитация Гука также еще не была универсальной, хотя она приближалась к универсальности более близко, чем предыдущие гипотезы: см. Стр. 239 в Curtis Wilson (1989), «Ньютоновское достижение в астрономии», гл.13 (страницы 233–274) в «Планетарной астрономии от Возрождение и рост астрофизики: 2A: Тихо Браге до Ньютона », CUP 1989.
2. Томас Берч, История Лондонского королевского общества,… (Лондон, Англия: 1756), т. 2, страницы 68–73; особенно см. стр. 70–72.
3. Джованни Альфонсо Борелли, Theoricae Mediceorum Planetarum ex Causius Physicis Deductae [Теория [движения] планет Медичи [то есть спутников Юпитера], выведенная из физических причин] (Флоренция, (Италия): 1666).
4. Койре, Александр (1952). "Неопубликованное письмо Роберта Гука Исааку Ньютону". Исида. 43 (4): 312–337. Дои:10.1086/348155. JSTOR  227384. PMID  13010921.
5. Письмо Гука Ньютону от 6 января 1680 г. (Koyré 1952: 332).
6. Ньютон признал Рена, Гука и Галлея в этой связи в Scholium к Предложению 4 в Книге 1 (во всех изданиях): см., Например, английский перевод 1729 г. Principia, на странице 66.
7. В письме Эдмунду Галлею от 20 июня 1686 года Ньютон писал: «Буллиальдус писал, что вся сила, относящаяся к Солнцу как к его центру и зависящему от материи, должна быть взаимной, в двойном соотношении расстояния от центра». См .: I. Бернард Коэн и Джордж Э. Смит, ред. Кембриджский компаньон Ньютона (Кембридж, Англия: Cambridge University Press, 2002), стр. 204.
8. Williams, E .; Faller, J .; Хилл, Х. (1971), "Новый экспериментальный тест закона Кулона: лабораторный верхний предел массы покоя фотона", Письма с физическими проверками, 26 (12): 721–724, Bibcode:1971PhRvL..26..721W, Дои:10.1103 / PhysRevLett.26.721
9. Миллерсон, Дж. (1991) Освещение для кино и телевидения - 3-е издание стр.27
10. Райер, А. (1997) "Справочник по измерению света", ISBN  0-9658356-9-3 стр.26
11. Джон Фрили, До Галилея: рождение современной науки в средневековой Европе (2012)
12. Иоганн Кеплер, Ad Vitellionem Paralipomen, quibus astronomiae pars optica traditur (Франкфурт, (Германия): Клод де Марн и наследник Жан Обри, 1604 г.), стр.10.
13. Перевод латинской цитаты из Кеплера Ad Vitellionem paralipomen взято из: Гал О. и Чен-Моррис Р. (2005) «Археология закона обратных квадратов: (1) Метафизические образы и математические практики», История науки, 43 : 391–414; особенно см. стр. 397.
14. Примечание. И Кеплер, и Уильям Гилберт почти предвосхитили современную концепцию гравитации, не имея только закона обратных квадратов в своем описании «гравитации». На странице 4 главы 1, Introductio, Astronomia NovaКеплер излагает свое описание следующим образом:«Истинная теория гравитации основана на следующих аксиомах:Каждая телесная субстанция, насколько она телесна, имеет естественную пригодность для отдыха в любом месте, где она может находиться сама по себе за пределами сферы влияния тела, родственного ей.Гравитация - это взаимная привязанность между родственными телами к союзу или соединению (схожая по своему характеру с магнитной силой), так что земля притягивает камень больше, чем камень стремится к земле....Если бы два камня были помещены в любую часть мира рядом друг с другом и за пределами сферы влияния третьего родственного тела, эти камни, как две магнитные иглы, сошлись бы в промежуточной точке, приближаются друг к другу на расстояние, пропорциональное сравнительной массе другихр.Если бы Луна и Земля не удерживались на своих орбитах своей живой силой или каким-либо другим эквивалентом, Земля поднялась бы до Луны на пятьдесят четвертую часть их расстояния, а Луна упала бы к Земле через другие пятьдесят три. частей, и они там встретятся, если предположить, однако, что субстанция обеих имеет одинаковую плотность ".Обратите внимание, что в высказывании "земля больше притягивает камень, чем камень ищет землю " Кеплер отходит от аристотелевской традиции, которая возражает стремиться быть на своем естественном месте, что камень ищет быть с землей.
15. Исмаил Буллиалдус, Astronomia Philolaica … (Париж, Франция: Piget, 1645), стр.23.
16. Перевод латинской цитаты из «Astronomia Philolaica» Буллиалда… взят из: О'Коннор, Джон Дж. И Роберсон, Эдмунд Ф. (2006) "Исмаэль Бульо" В архиве 30 ноября 2016 г. Wayback Machine, Архив истории математики MacTutor, Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия.
17. (Гал и Чен-Моррис, 2005 г.), стр. 391–392.
18. Роберт Гук, Микрография … (Лондон, Англия: Джон Мартин, 1667 г.), стр. 227: "[Я говорю Цилиндр, а не кусок Конус, потому что, как я могу показать в другом месте в «Экспликации гравитации», в трех экземплярах Пропорция оболочки Сферы по отношению к их диаметрам, я полагаю, должна быть удалена в этом случае за счет уменьшения силы гравитации.] "

внешние ссылки

• Демпфирование уровня звука с расстоянием
• Звуковое давление p и закон обратной зависимости 1 / r