Изолированная особенность - Isolated singularity

В комплексный анализ, филиал математика, изолированная особенность тот, у которого нет другого особенности близко к этому. Другими словами, комплексное число z₀ - изолированная особенность функции ж если существует открыто диск D сосредоточен на z₀ такой, что ж является голоморфный на D {z₀}, то есть на набор получен из D принимая z₀ из.

Формально и в общем объеме функциональный анализ, изолированная особенность функции ${\displaystyle f}$ есть ли топологически изолированный точка в открытом наборе, где определена функция.

Каждая особенность мероморфная функция изолирован, но изолированности особенностей недостаточно для гарантии мероморфности функции. Многие важные инструменты комплексного анализа, такие как Серия Laurent и теорема о вычетах требуют, чтобы все соответствующие особенности функции были изолированы. Существуют три типа изолированных особенностей: устраняемые особенности, полюса и существенные особенности.

Примеры

• Функция ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$ имеет 0 как изолированную особенность.
• В косеканс функция ${\displaystyle \csc \left(\pi z\right)}$ имеет каждый целое число как изолированную особенность.

Неизолированные особенности

Помимо изолированных особенностей, сложные функции одной переменной могут демонстрировать другое сингулярное поведение. А именно, существуют два вида неизолированных особенностей:

• Кластерные точки, т.е. предельные точки изолированных особенностей: если все они полюса, несмотря на допущение Серия Laurent расширения на каждом из них, такое расширение невозможно на его пределе.
• Естественные границы, т.е. любой неизолированный набор (например, кривая), функции которого не могут быть аналитически продолжение вокруг (или вне их, если это замкнутые кривые в Сфера Римана ).

Примеры

Естественной границей этого степенного ряда является единичный круг (см. Примеры).

• Функция ${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ является мероморфный в ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \{0\}}$, с простыми полюсами в ${\displaystyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$, для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$. С ${\displaystyle z_{n}\rightarrow 0}$, каждый проколотый диск с центром в ${\displaystyle 0}$ имеет бесконечное количество сингулярностей внутри, поэтому разложение Лорана недоступно для ${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$ вокруг ${\displaystyle 0}$, который на самом деле является точкой скопления его полюсов.
• Функция ${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$ имеет особенность в 0, которая нет изолированы, так как есть дополнительные особенности на взаимный каждого целое число которые расположены произвольно близко к 0 (хотя особенности на этих обратных величинах изолированы).
• Функция здесь определена как Серия Маклорена ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$ сходится внутри открытого единичного диска с центром в ${\displaystyle 0}$ и имеет единичную окружность в качестве естественной границы.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Сингулярность». MathWorld.