J-структура - J-structure

В математике J-структура является алгебраическая структура через поле относящийся к Йорданова алгебра. Концепция была представлена Спрингер (1973) разработать теорию йордановых алгебр, используя линейные алгебраические группы и аксиомы, использующие инверсию Жордана в качестве основной операции и Личность Хуа как основное отношение. Существует классификация простых конструкций, вытекающая из классификации полупростые алгебраические группы. Над полями характеристика не равно 2, теория J-структур по существу такая же, как и у йордановых алгебр.

Определение

Позволять V быть конечномерное векторное пространство над полем K и j а рациональная карта из V самому себе, выражаемому в форме п/N с п а полиномиальное отображение из V себе и N многочлен от K[V]. Позволять ЧАС - подмножество GL (V) × GL (V), содержащий пары (грамм,час) такие, что грамм∘j = j∘час: это закрытый подгруппа продукта и проекции на первый фактор, множество грамм которые происходят, является структурная группа из j, обозначенный ГРАММ'(j).

А J-структура это тройка (V,j,е) куда V это векторное пространство над K, j это бирациональная карта из V себе и е является ненулевым элементом V удовлетворяющие следующим условиям.^[1]

• j однородный бирациональный инволюция степени −1
• j регулярно в е и j(е) = е
• если j регулярно в Икс, е + Икс и е + j(Икс) тогда

${\displaystyle j(e+x)+j(e+j(x))=e}$

• орбита грамм е из е под структурной группой грамм = грамм(j) это Зариски открытый подмножество V.

В норма связанный с J-структурой (V,j,е) числитель N из j, нормализованная так, чтобы N(е) = 1. степень J-структуры - это степень N как однородное полиномиальное отображение.^[2]

В квадратичная карта структуры - карта п из V до конца(V) определяется в терминах дифференциал dj на обратимой Икс.^[3] Ставим

${\displaystyle P(x)=-(dj)_{x}^{-1}.}$

Квадратичное отображение оказывается квадратичным полиномиальным отображением на V.

Подгруппа структурной группы грамм порожденная обратимыми квадратичными отображениями группа внутренней структуры J-структуры. Это замкнутая связная нормальная подгруппа.^[4]

J-структуры из квадратичных форм

Позволять K имеют характеристика не равно 2. Пусть Q быть квадратичная форма в векторном пространстве V над K с ассоциированным билинейная форма Q(Икс,у) = Q(Икс+у) − Q(Икс) − Q(у) и выделенный элемент е такой, что Q(е,.) нетривиально. Определяем карту отражения Икс^* к

${\displaystyle x^{*}=Q(x,e)e-x}$

и инверсионное отображение j к

${\displaystyle j(x)=Q(x)^{-1}x^{*}.}$

Потом (V,j,е) является J-структурой.

Пример

Позволять Q - обычная сумма квадратов квадратичной функции на K^р для фиксированного целого числа р, оснащенный стандартная основа е¹,...,е^р. Потом (K^р, Q, е^р) является J-структурой степени 2. Обозначается O₂.^[5]

Связь с йордановыми алгебрами

В характеристика не равным 2, что мы предполагаем в этом разделе, теория J-структур по существу такая же, как и теория йордановых алгебр.

Позволять А - конечномерная коммутативная неассоциативная алгебра над K с личностью е. Позволять L(Икс) обозначим умножение слева на Икс. Есть уникальное бирациональное отображение я на А такой, что я(Икс).Икс = е если я регулярно на Икс: он однороден степени −1 и является инволюцией с я(е) = е. Это может быть определено я(Икс) = L(Икс)⁻¹.е. Мы называем я то инверсия на А.^[6]

Йорданова алгебра определяется тождеством^[7][8]

${\displaystyle x(x^{2}y)=x^{2}(xy).}$

Альтернативной характеристикой является то, что для всех обратимых Икс у нас есть

${\displaystyle x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y).}$

Если А является йордановой алгеброй, то (А,я,е) является J-структурой. Если (V,j,е) является J-структурой, то существует единственная структура йордановой алгебры на V с личностью е с инверсией j.

Связь с квадратичными йордановыми алгебрами

В общей характеристике, которую мы предполагаем в этом разделе, J-структуры связаны с квадратичные йордановы алгебры. В качестве квадратичной йордановой алгебры мы рассматриваем конечномерное векторное пространство V с квадратичным отображением Q из V до конца(V) и выделенный элемент е. Мы позволяем Q также обозначим билинейное отображение Q(Икс,у) = Q(Икс+у) − Q(Икс) − Q(у). Свойства квадратичной йордановой алгебры будут^[9][10]

• Q(е) = id_V, Q(Икс,е)у = Q(Икс,у)е
• Q(Q(Икс)у) = Q(Икс)Q(у)Q(Икс)
• Q(Икс)Q(у,z)Икс = Q(Q(Икс)у,Икс)z

Мы называем Q(Икс)е то квадрат из Икс. Если возведение в квадрат доминирующий (имеет Зариски плотный изображение), то алгебра называется отделяемый.^[11]

Есть уникальная бирациональная инволюция я такой, что Q(Икс)я Икс = Икс если Q регулярно в Икс. Как прежде, я это инверсия, определяемый я(Икс) = Q(Икс)⁻¹ Икс.

Если (V,j,е) является J-структурой с квадратичным отображением Q тогда (V,Q,е) - квадратичная йорданова алгебра. В обратном направлении, если (V,Q,е) - сепарабельная квадратичная йорданова алгебра с инверсией я, тогда (V,я,е) является J-структурой.^[12]

H-структура

Маккриммон предложил понятие H-структура отказавшись от аксиомы плотности и усилив третью (форму идентичности Хуа), изотопы. Полученная структура категорически эквивалентна квадратичной йордановой алгебре.^[13][14]

Разложение Пирса

J-структура имеет Разложение Пирса на подпространства, определяемые идемпотентными элементами.^[15] Позволять а - идемпотент J-структуры (V,j,е), то есть, а² = а. Позволять Q - квадратичное отображение. Определять

${\displaystyle \phi _{a}(t,u)=Q(ta+u(e-a)).}$

Это обратимо для ненулевых т,ты в K и поэтому φ определяет морфизм из алгебраический тор GL₁ × GL₁ к группе внутренней структуры грамм₁. Есть подпространства

${\displaystyle V_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=t^{2}x}\right\rbrace }$

${\displaystyle V'_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=tux}\right\rbrace }$

${\displaystyle V_{e-a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=u^{2}x}\right\rbrace }$

и они образуют прямая сумма разложение V. Это разложение Пирса идемпотентного а.^[16]

Обобщения

Если отбросить условие на выделенный элемент е, получаем «J-структуры без идентичности».^[17] Это связано с изотопы йордановых алгебр.^[18]

Рекомендации

1. Спрингер (1973) стр.10
2. Спрингер (1973) стр.11
3. Спрингер (1973) стр.16
4. Спрингер (1973) стр.18
5. Спрингер (1973) стр.33
6. Спрингер (1973) стр.66
7. Шафер (1995) стр.91
8. Окубо (2005) стр.13
9. Спрингер (1973) стр.72
10. МакКриммон (2004) стр.83
11. Спрингер (1973) стр.74
12. Спрингер (1973) стр.76
13. МакКриммон (1977)
14. МакКриммон (1978)
15. Спрингер (1973) стр.90
16. Спрингер (1973) стр.92
17. Спрингер (1973) стр.21
18. Спрингер (1973) стр.22

• МакКриммон, Кевин (1977). «Аксиомы обращения в йордановых алгебрах». J. Алгебра. 47: 201–222. Дои:10.1016/0021-8693(77)90221-6. Zbl  0421.17013.
• МакКриммон, Кевин (1978). «Йордановы алгебры и их приложения». Бык. Являюсь. Математика. Soc. 84: 612–627. Дои:10.1090 / S0002-9904-1978-14503-0. МИСТЕР  0466235. Zbl  0421.17010.
• МакКриммон, Кевин (2004). Вкус йордановой алгебры. Universitext. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007 / b97489. ISBN  978-0-387-95447-9. МИСТЕР  2014924. Zbl  1044.17001. Архивировано из оригинал на 2012-11-16. Получено 2014-05-18.
• Окубо, Сусуму (2005) [1995]. Введение в октонион и другие неассоциативные алгебры в физике. Серия лекций Мемориала Монтролла по математической физике. 2. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9780511524479. ISBN  0-521-01792-0. Zbl  0841.17001.
• Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры. Дувр. ISBN  0-486-68813-5. Zbl  0145.25601.
• Спрингер, Т. (1973). Йордановы алгебры и алгебраические группы. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 75. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-06104-5. Zbl  0259.17003.