Преобразование Якоби - Jacobi transform - Wikipedia В математике Преобразование Якоби является интегральное преобразование назван в честь математика Карл Густав Джейкоб Якоби, который использует Многочлены Якоби п п α , β ( Икс ) { Displaystyle P_ {п} ^ { альфа, бета} (х)} как ядра преобразования.[1][2][3][4]Преобразование Якоби функции F ( Икс ) { Displaystyle F (х)} является[5] J { F ( Икс ) } = ж α , β ( п ) = ∫ − 1 1 ( 1 − Икс ) α ( 1 + Икс ) β п п α , β ( Икс ) F ( Икс ) d Икс { Displaystyle J {F (x) } = f ^ { alpha, beta} (n) = int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {n} ^ { alpha, beta} (x) F (x) dx}Обратное преобразование Якоби дается формулой J − 1 { ж α , β ( п ) } = F ( Икс ) = ∑ п = 0 ∞ 1 δ п ж α , β ( п ) п п α , β ( Икс ) , куда δ п = 2 α + β + 1 Γ ( п + α + 1 ) Γ ( п + β + 1 ) п ! ( α + β + 2 п + 1 ) Γ ( п + α + β + 1 ) { displaystyle J ^ {- 1} {f ^ { alpha, beta} (n) } = F (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} { delta _ {n}}} f ^ { alpha, beta} (n) P_ {n} ^ { alpha, beta} (x), quad { text {where}} quad delta _ {n} = { frac {2 ^ { alpha + beta +1} Gamma (n + alpha +1) Gamma (n + beta +1)} {n! ( alpha + beta + 2n +1) Gamma (n + alpha + beta +1)}}}Некоторые пары преобразований Якоби F ( Икс ) { Displaystyle F (х) ,} ж α , β ( п ) { Displaystyle е ^ { альфа, бета} (п) ,} Икс м , м < п { Displaystyle х ^ {м}, м <п ,} 0 { displaystyle 0} Икс п { Displaystyle х ^ {п} ,} п ! ( α + β + 2 п + 1 ) δ п { Displaystyle п! ( альфа + бета + 2n + 1) дельта _ {п}} п м α , β ( Икс ) { Displaystyle Р_ {м} ^ { альфа, бета} (х) ,} δ п δ м п { displaystyle delta _ {n} delta _ {mn}} ( 1 + Икс ) а − β { Displaystyle (1 + х) ^ {а- бета} ,} ( п + α п ) 2 α + а + 1 Γ ( а + 1 ) Γ ( α + 1 ) Γ ( а − β + 1 ) Γ ( α + а + п + 2 ) Γ ( а − β + п + 1 ) { displaystyle { binom {n + alpha} {n}} 2 ^ { alpha + a + 1} { frac { Gamma (a + 1) Gamma ( alpha +1) Gamma (a- бета +1)} { Gamma ( alpha + a + n + 2) Gamma (a- beta + n + 1)}}} ( 1 − Икс ) σ − α , ℜ σ > − 1 { Displaystyle (1-х) ^ { сигма - альфа}, Re sigma> -1 ,} 2 σ + β + 1 п ! Γ ( α − σ ) Γ ( σ + 1 ) Γ ( п + β + 1 ) Γ ( α − σ + п ) Γ ( β + σ + п + 2 ) { displaystyle { frac {2 ^ { sigma + beta +1}} {n! Gamma ( alpha - sigma)}} { frac { Gamma ( sigma +1) Gamma (n + бета +1) Gamma ( alpha - sigma + n)} { Gamma ( beta + sigma + n + 2)}}} ( 1 − Икс ) σ − β п м α , σ ( Икс ) , ℜ σ > − 1 { displaystyle (1-x) ^ { sigma - beta} P_ {m} ^ { alpha, sigma} (x), Re sigma> -1 ,} 2 α + σ + 1 м ! ( п − м ) ! Γ ( п + α + 1 ) Γ ( α + β + м + п + 1 ) Γ ( σ + м + 1 ) Γ ( α − β + 1 ) Γ ( α + β + п + 1 ) Γ ( α + σ + м + п + 2 ) Γ ( α − β + м + 1 ) { displaystyle { frac {2 ^ { alpha + sigma +1}} {m! (nm)!}} { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma ( alpha + beta + m + n + 1) Gamma ( sigma + m + 1) Gamma ( alpha - beta +1)} { Gamma ( alpha + beta + n + 1) Gamma ( alpha + sigma + m + n + 2) Gamma ( alpha - beta + m + 1)}}} 2 α + β Q − 1 ( 1 − z + Q ) − α ( 1 + z + Q ) − β , Q = ( 1 − 2 Икс z + z 2 ) 1 / 2 , | z | < 1 { displaystyle 2 ^ { alpha + beta} Q ^ {- 1} (1-z + Q) ^ {- alpha} (1 + z + Q) ^ {- beta}, Q = (1 -2xz + z ^ {2}) ^ {1/2}, | z | <1 ,} ∑ п = 0 ∞ δ п z п { Displaystyle сумма _ {п = 0} ^ { infty} дельта _ {п} г ^ {п}} ( 1 − Икс ) − α ( 1 + Икс ) − β d d Икс [ ( 1 − Икс ) α + 1 ( 1 + Икс ) β + 1 d d Икс ] F ( Икс ) { displaystyle (1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alpha +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} right] F (x) ,} − п ( п + α + β + 1 ) ж α , β ( п ) { Displaystyle -n (п + альфа + бета +1) е ^ { альфа, бета} (п)} { ( 1 − Икс ) − α ( 1 + Икс ) − β d d Икс [ ( 1 − Икс ) α + 1 ( 1 + Икс ) β + 1 d d Икс ] } k F ( Икс ) { displaystyle left {(1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { альфа +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} right] right } ^ {k} F (x) ,} ( − 1 ) k п k ( п + α + β + 1 ) k ж α , β ( п ) { Displaystyle (-1) ^ {к} п ^ {к} (п + альфа + бета +1) ^ {к} е ^ { альфа, бета} (п)}Рекомендации ^ Дебнат, Л. "О преобразовании Якоби". Бык. Cal. Математика. Soc 55.3 (1963): 113-120.^ Дебнат, Л. "РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЯКОБИ". БЮЛЛЕТЕНЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА CALCUTTA 59.3-4 (1967): 155.^ Скотт, Э. Дж. «Преобразования Якоби». (1953).^ Шен, Цзе; Ван, Инвэй; Ся, Цзяньлинь (2019). «Быстрые структурированные преобразования Якоби-Якоби». Математика. Comp. 88 (318): 1743–1772. Дои:10.1090 / mcom / 3377.^ Дебнатх, Локенатх и Дамбару Бхатта. Интегральные преобразования и их приложения. CRC press, 2014.
![{ displaystyle (1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { alpha +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} right] F (x) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf3f023f7d443653e8a4664e7c2e71e76cb4e07)
![{ displaystyle left {(1-x) ^ {- alpha} (1 + x) ^ {- beta} { frac {d} {dx}} left [(1-x) ^ { альфа +1} (1 + x) ^ { beta +1} { frac {d} {dx}} right] right } ^ {k} F (x) ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37708dcabf8079699227184c4cbfbcac88a868d)
