Исчисление Джонса - Jones calculus

В оптика, поляризованный свет можно описать с помощью Исчисление Джонса, обнаруженный Р. К. Джонс в 1941 году. Поляризованный свет представлен Вектор Джонса, а линейные оптические элементы представлены Джонс матрицы. Когда свет проходит через оптический элемент, результирующая поляризация выходящего света определяется путем произведения матрицы Джонса оптического элемента и вектора Джонса падающего света. Обратите внимание, что расчет Джонса применим только к свету, который уже полностью поляризован. . Свет, который является случайно поляризованным, частично поляризованным или некогерентным, должен рассматриваться с использованием Исчисление Мюллера.

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в свободном или другом пространстве. однородный изотропный не ослабляющий средний, где свет можно правильно описать как поперечные волны. Предположим, что одноцветный плоская волна света путешествует в позитивном z-направление, с угловой частотой ω и волновой вектор k = (0,0,k), где волновое число k = ω/c. Тогда электрическое и магнитное поля E и ЧАС ортогональны k в каждой точке; они оба лежат в плоскости, «поперечной» направлению движения. Более того, ЧАС определяется из E поворотом на 90 градусов и фиксированным множителем в зависимости от волновое сопротивление среды. Таким образом, поляризацию света можно определить, изучая E. Комплексная амплитуда E написано

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.}$

Обратите внимание, что физический E поле - действительная часть этого вектора; комплексный множитель предоставляет информацию о фазе. Здесь ${\displaystyle i}$ это мнимая единица с ${\displaystyle i^{2}=-1}$.

Вектор Джонса

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

Таким образом, вектор Джонса представляет собой амплитуду и фазу электрического поля в Икс и у направления.

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонентов векторов Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно для упрощения в начальной точке вычислений его нормализуют до 1. Также принято ограничивать первый компонент векторов Джонса как настоящий номер. Это отбрасывает общую информацию о фазе, которая может потребоваться для расчета вмешательство с другими балками.

Обратите внимание, что все векторы и матрицы Джонса в этой статье используют соглашение, согласно которому фаза световой волны задается выражением ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$, соглашение, используемое Hecht. Согласно этому соглашению увеличение ${\displaystyle \phi _{x}}$ (или же ${\displaystyle \phi _{y}}$) указывает на замедление (задержку) по фазе, а уменьшение указывает на опережение по фазе. Например, компонент векторов Джонса ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$) указывает на замедление ${\displaystyle \pi /2}$ (или 90 градусов) по сравнению с 1 (${\displaystyle =e^{0}}$). Круговая поляризация, описываемая в соответствии с соглашением Джонса, называется: «С точки зрения приемника». Коллетт использует противоположное определение фазы (${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$). Круговая поляризация, описываемая в соответствии с соглашением Коллетта, называется: «С точки зрения источника». Читателю следует с осторожностью относиться к выбору условных обозначений при обращении к ссылкам на исчисление Джонса.

В следующей таблице приведены 6 общих примеров нормализованных векторов Джонса.

Поляризация	Вектор Джонса	Типичный кет обозначение
Линейная поляризация в Икс направление Обычно называется "горизонтальным"	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
Линейная поляризация в у направление Обычно называется "вертикальным"	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
Линейная поляризация под углом 45 ° от Икс ось Обычно называют «диагональным» L + 45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +|V\rangle {\big )}}$
Линейная поляризация при -45 ° от Икс ось Обычно называют «антидиагональным» L-45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -|V\rangle {\big )}}$
Правая круговая поляризация Обычно называется «RCP» или «RHCP».	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -i|V\rangle {\big )}}$
Левая круговая поляризация Обычно называется «LCP» или «LHCP».	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +i|V\rangle {\big )}}$

Общий вектор, указывающий на любое место на поверхности, записывается как кет ${\displaystyle |\psi \rangle }$. При использовании Сфера Пуанкаре (также известный как Сфера Блоха ), базисные кеты (${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$) должен быть отнесен к противоположному (противоположный ) пары кетов, перечисленных выше. Например, можно назначить ${\displaystyle |0\rangle }$ = ${\displaystyle |H\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$ = ${\displaystyle |V\rangle }$. Эти назначения произвольны. Противостоящие пары

• ${\displaystyle |H\rangle }$ и ${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$ и ${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$ и ${\displaystyle |L\rangle }$

Поляризация любой точки не равна ${\displaystyle |R\rangle }$ или же ${\displaystyle |L\rangle }$ а не на круге, который проходит через ${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$ известен как эллиптическая поляризация.

Матрицы Джонса

Матрицы Джонса - это операторы, которые действуют на векторы Джонса, определенные выше. Эти матрицы реализуются различными оптическими элементами, такими как линзы, светоделители, зеркала и т. Д. Каждая матрица представляет собой проекцию на одномерное комплексное подпространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный поляризатор с горизонтальной осью передачи[1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания[1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания ± 45 ° по горизонтали[1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью угла пропускания ${\displaystyle \theta }$ с горизонтали[1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\sin(\theta )\\\cos(\theta )\sin(\theta )&\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}}$
Правый круговой поляризатор[1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
Левый круговой поляризатор[1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$

Фазовые замедлители

Фазовые замедлители вносят фазовый сдвиг между вертикальной и горизонтальной составляющими поля и, таким образом, изменяют поляризацию луча. Фазовые замедлители обычно изготавливаются из двулучепреломляющий одноосные кристаллы Такие как кальцит, MgF₂ или же кварц. Одноосные кристаллы имеют одну ось кристалла, которая отличается от двух других осей кристалла (т. Е. п_я ≠ п_j = п_k). Эта уникальная ось называется экстраординарной осью и также упоминается как оптическая ось. Оптическая ось может быть быстрой или медленной осью кристалла в зависимости от кристалла. Свет распространяется с более высокой фазовой скоростью вдоль оси, имеющей наименьшую показатель преломления и эта ось называется быстрой осью. Точно так же ось с наибольшим показателем преломления называется медленной осью, поскольку фазовая скорость света является самым низким по этой оси. «Отрицательные» одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO₃, сапфир Al₂О₃) имеют п_е < п_о поэтому для этих кристаллов необычная ось (оптическая ось) является быстрой осью, тогда как для «положительных» одноосных кристаллов (например, кварц SiO₂, фторид магния MgF₂, рутил TiO₂), п_е > п _о Таким образом, необычная ось (оптическая ось) является медленной осью.

Любой фазовый замедлитель с быстрой осью, равной оси x или y, не имеет недиагональных членов и, таким образом, может быть удобно выражен как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

куда ${\displaystyle \phi _{x}}$ и ${\displaystyle \phi _{y}}$ - фазовые сдвиги электрических полей в ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направления соответственно. В фазовом соглашении ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$, определим относительную фазу между двумя волнами как ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$. Тогда положительный ${\displaystyle \epsilon }$ (т.е. ${\displaystyle \phi _{y}}$ > ${\displaystyle \phi _{x}}$) Значит это ${\displaystyle E_{y}}$ не достигает такой же ценности, как ${\displaystyle E_{x}}$ до более позднего времени, т.е. ${\displaystyle E_{x}}$ ведет ${\displaystyle E_{y}}$. Аналогично, если ${\displaystyle \epsilon <0}$, тогда ${\displaystyle E_{y}}$ ведет ${\displaystyle E_{x}}$.

Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальна, то фазовая скорость в горизонтальном направлении опережает вертикальное направление, т.е. ${\displaystyle E_{x}}$ ведет ${\displaystyle E_{y}}$. Таким образом, ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$ что для четвертьволновой пластинки дает ${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$.

В противоположном соглашении ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$, определим относительную фазу как ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$. потом ${\displaystyle \epsilon >0}$ Значит это ${\displaystyle E_{y}}$ не достигает такой же ценности, как ${\displaystyle E_{x}}$ до более позднего времени, т.е. ${\displaystyle E_{x}}$ ведет ${\displaystyle E_{y}}$.

Фазовые замедлители	Соответствующая матрица Джонса
Четвертьволновая пластина с быстрой осью вертикальной[2][примечание 1]	${\displaystyle e^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластина с быстрой осью по горизонтали[2]	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластина с быстрой осью под углом ${\displaystyle \theta }$ по горизонтальной оси	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Полуволновая пластина с быстрой осью под углом ${\displaystyle \theta }$ по горизонтальной оси[3]	${\displaystyle e^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Произвольный двулучепреломляющий материал (как фазовый замедлитель)[4]	${\displaystyle e^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +e^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-e^{i\eta }\right)e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-e^{i\eta }\right)e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +e^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

Специальные выражения для фазовых замедлителей можно получить, взяв подходящие значения параметров в общем выражении для двулучепреломляющего материала. В общем выражении:

• Относительная фазовая задержка, индуцированная между быстрой и медленной осями, определяется выражением ${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$ - ориентация быстрой оси относительно оси x.
• ${\displaystyle \phi }$ это округлость.

Обратите внимание, что для линейных замедлителей схватывания ${\displaystyle \phi }$ = 0 и для круговых замедлителей, ${\displaystyle \phi }$ = ± ${\displaystyle \pi }$/2, ${\displaystyle \theta }$ = ${\displaystyle \pi }$/ 4. Как правило, для эллиптических замедлителей схватывания ${\displaystyle \phi }$ принимает значения между - ${\displaystyle \pi }$/ 2 и ${\displaystyle \pi }$/2.

Элементы с осевым вращением

Предположим, что оптический элемент имеет оптическую ось.^{[требуется разъяснение ]} перпендикулярно вектору поверхности для плоскость падения^{[требуется разъяснение ]} и поворачивается вокруг этого вектора поверхности на угол θ / 2 (т.е. главная плоскость,^{[требуется разъяснение ]} через которую проходит оптическая ось,^{[требуется разъяснение ]} делает угол θ / 2 относительно плоскости поляризации электрического поля^{[требуется разъяснение ]} падающей ТЕ-волны). Напомним, что полуволновая пластинка вращает поляризацию как дважды угол между падающей поляризацией и оптической осью (главная плоскость). Следовательно, матрица Джонса для повернутого состояния поляризации M (θ), является

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

куда ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Это согласуется с выражением для полуволновой пластинки в таблице выше. Эти повороты идентичны преобразованию унитарного светоделителя в оптической физике:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

где коэффициенты со штрихом и без штрихов представляют лучи, падающие с противоположных сторон светоделителя. Отраженная и прошедшая компоненты приобретают фазу θ_р и θ_т, соответственно. Требования к достоверному представлению элемента: ^[5]

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

и${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

Оба эти представления представляют собой унитарные матрицы, отвечающие этим требованиям; и как таковые, оба действительны.

Произвольно повернутые элементы

Это потребует трехмерного матрица вращения. См. Работу Рассела А. Чипмана и Гарама Юна.^[6][7][8][9]

Ось поляризации от вектора Джонса

Угол эллипс поляризации вектора Джонса ${\displaystyle {\mid }\psi \rangle }$ можно рассчитать, как показано ниже,

${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {\langle \psi {\mid }\operatorname {Ref} (45\deg ){\mid }\psi \rangle }{\langle \psi {\mid }\operatorname {Ref} (0\deg ){\mid }\psi \rangle }}={\frac {2E_{0x}E_{0y}\cos(\phi _{x}-\phi _{y})}{E_{0x}^{2}-E_{0y}^{2}}}}$

куда ${\displaystyle \theta }$ - угол большой или малой оси и ${\displaystyle \operatorname {Ref} }$ это матрица отражения.

Смотрите также

• Поляризация
• Параметры рассеяния
• Параметры Стокса
• Исчисление Мюллера
• Поляризация фотона

Примечания

1. Префактор ${\displaystyle e^{i\pi /4}}$ появляется только при симметричном задании фазовых задержек; то есть, ${\displaystyle \phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4}$. Это сделано в Хехте^[2] но не в Фаулзе.^[1] В последнем случае матрицы Джонса для четвертьволновой пластинки не имеют префактора.

Рекомендации

1. Фаулз, Г. (1989). Введение в современную оптику (2-е изд.). Дувр. п.35.
2. Юджин Хехт (2001). Оптика (4-е изд.). п.378. ISBN  978-0805385663.
3. Джеральд, А .; Берч, Дж. М. (1975). Введение в матричные методы в оптике (1-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 212. ISBN  978-0471296850.
4. Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эйсебио (1987). «Получение параметров поляризации и запаздывания недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Optik. 76 (2): 67–71. ISSN  0030-4026.
5. Ou, Z. Y .; Мандель, Л. (1989). «Вывод соотношений взаимности для светоделителя из баланса энергии». Являюсь. J. Phys. 57 (1): 66. Дои:10.1119/1.15873.
6. Чипман, Рассел А. (1995). «Механика трассировки поляризационных лучей». Опт. Англ.. 34 (6): 1636–1645. Дои:10.1117/12.202061.
7. Юн, Гарам; Крэбтри, Карлтон; Чипман, Рассел А. (2011). "Трехмерное поляризационное вычисление трассировки лучей I: определение и диаттенация". Прикладная оптика. 50 (18): 2855–2865. Дои:10.1364 / AO.50.002855. PMID  21691348.
8. Юн, Гарам; Макклейн, Стивен С .; Чипман, Рассел А. (2011). «Трехмерное поляризационное вычисление трассировки лучей II: замедление». Прикладная оптика. 50 (18): 2866–2874. Дои:10.1364 / AO.50.002866. PMID  21691349.
9. Юн, Гарам (2011). Трассировка лучей поляризации (Кандидатская диссертация). Университет Аризоны. HDL:10150/202979.

дальнейшее чтение

• Э. Коллетт, Полевое руководство по поляризации, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN  0-8194-5868-6.
• Д. Гольдштейн и Э. Коллетт, Поляризованный свет, 2-е изд., CRC Press (2003). ISBN  0-8247-4053-X.
• Э. Хехт, Оптика, 2-е изд., Addison-Wesley (1987). ISBN  0-201-11609-X.
• Фрэнк Л. Педротти, С.Дж. Лено С. Педротти, Введение в оптику, 2-е изд., Прентис Холл (1993). ISBN  0-13-501545-6
• А. Джеральд и Дж. М. Берч, Введение в матричные методы в оптике, 1-е изд., John Wiley & Sons (1975). ISBN  0-471-29685-6
• Джонс, Р. Кларк (1941). "Новое исчисление для обработки оптических систем, I. Описание и обсуждение исчисления". Журнал Оптического общества Америки. 31 (7): 488–493. Дои:10.1364 / JOSA.31.000488.
• Гурвиц, Генри; Джонс, Р. Кларк (1941). «Новое исчисление для обработки оптических систем, II. Доказательство трех общих теорем эквивалентности». Журнал Оптического общества Америки. 31 (7): 493–499. Дои:10.1364 / JOSA.31.000493.
• Джонс, Р. Кларк (1941). "Новый расчет для обработки оптических систем, III Теория Зонке оптической активности". Журнал Оптического общества Америки. 31 (7): 500–503. Дои:10.1364 / JOSA.31.000500.
• Джонс, Р. Кларк (1942). «Новый камень для лечения оптических систем, IV». Журнал Оптического общества Америки. 32 (8): 486–493. Дои:10.1364 / JOSA.32.000486.
• Фымат, А. Л. (1971). "Матричное представление оптических инструментов Джонса. I: светоделители". Прикладная оптика. 10 (11): 2499–2505. Bibcode:1971АпОпт..10.2499F. Дои:10.1364 / AO.10.002499. PMID  20111363.
• Фымат, А. Л. (1971). "Матричное представление оптических инструментов Джонса. 2: Интерферометры Фурье (спектрометры и спектрополяриметры)". Прикладная оптика. 10 (12): 2711–2716. Bibcode:1971ApOpt..10.2711F. Дои:10.1364 / AO.10.002711. PMID  20111418.
• Фымат, А. Л. (1972). "Эффекты поляризации в Фурье-спектроскопии. I: Матричное представление когерентности". Прикладная оптика. 11 (1): 160–173. Bibcode:1972АпОпт..11..160F. Дои:10.1364 / AO.11.000160. PMID  20111472.
• Гилл, Хосе Хорхе; Бернабеу, Эйсебио (1987). «Получение параметров поляризации и запаздывания недеполяризующей оптической системы из полярного разложения ее матрицы Мюллера». Optik. 76: 67–71.
• Бросо, Кристиан; Гивенс, Кларк Р .; Костинский, Александр Б. (1993). «Обобщенное условие следа на матрице поляризации Мюллера-Джонса». Журнал Оптического общества Америки A. 10 (10): 2248–2251. Bibcode:1993JOSAA..10.2248B. Дои:10.1364 / JOSAA.10.002248.
• Макгуайр, Джеймс П .; Чипман, Рассел А. (1994). «Поляризационные аберрации. 1. Вращательно-симметричные оптические системы». Прикладная оптика. 33 (22): 5080–5100. Bibcode:1994ApOpt..33.5080M. Дои:10.1364 / AO.33.005080. PMID  20935891. S2CID  3805982.
• Пистони, Натале С. (1995). «Упрощенный подход к исчислению Джонса в восстановлении оптических схем». Прикладная оптика. 34 (34): 7870–7876. Bibcode:1995ApOpt..34.7870P. Дои:10.1364 / AO.34.007870. PMID  21068881.
• Морено, Игнасио; Изуэль, Мария Дж.; Кампос, Хуан; Варгас, Астицио (2004). «Матричная обработка Джонса для поляризационной фурье-оптики». Журнал современной оптики. 51 (14): 2031–2038. Bibcode:2000JMOp ... 51.2031M. Дои:10.1080/09500340408232511. S2CID  120169144.
• Морено, Иван (2004). "Матрица Джонса для призм поворота изображения". Прикладная оптика. 43 (17): 3373–3381. Bibcode:2004АпОпт..43.3373M. Дои:10.1364 / AO.43.003373. PMID  15219016. S2CID  24268298.
• Уильям Шурклифф (1966) Поляризованный свет: производство и использование, глава 8 Исчисление Мюллера и Исчисление Джонса, стр.109, Издательство Гарвардского университета.

внешняя ссылка

• Исчисление Джонса, написанное Э. Коллеттом на Optipedia