Кайт (геометрия) - Kite (geometry)

летающий змей
Воздушный змей с парами сторон равной длины и вписанным кругом.
Тип	Четырехугольник
Края и вершины	4
Группа симметрии	D1 (*)
Двойной многоугольник	Равнобедренная трапеция

В Евклидова геометрия, а летающий змей это четырехугольник четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары смежных друг с другом сторон равной длины. Напротив, параллелограмм также имеет две пары сторон равной длины, но они противоположны друг другу, а не смежны. Четырехугольники воздушного змея названы в честь обдуваемых ветром, летающих воздушные змеи, которые часто имеют такую ​​форму и которые, в свою очередь, названы в честь птица. Воздушные змеи также известны как дельтовидные мышцы, но слово «дельтовидная» может также относиться к дельтовидная дуга, несвязанный геометрический объект.

Кайт, как определено выше, может быть либо выпуклый или же вогнутый, но слово «воздушный змей» часто ограничивается выпуклой разновидностью. Вогнутый воздушный змей иногда называют «дротиком» или «наконечником стрелы», и он является разновидностью псевдотреугольник.

Особые случаи

В дельтовидная трехгексагональная черепица изготовлен из идентичных граней змеевика с внутренним углом 60-90-120 градусов.

Четырехугольники можно классифицировать иерархически (в которых некоторые классы четырехугольников являются подмножествами других классов) или как разбиение (в котором каждый четырехугольник принадлежит только одному классу). ромб (четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины) или квадрат считается частным случаем воздушного змея, потому что его края можно разделить на две смежные пары равной длины. равносторонний воздушный змей представляет собой ромб, и каждый равносторонний воздушный змей представляет собой квадрат. Однако при классификации разделения ромбы и квадраты не считаются воздушными змеями, и воздушный змей не может быть равносторонним или равносторонним. ограничения других классов четырехугольников, таких как правильные воздушные змеи обсуждаемые ниже, не будут считаться воздушными змеями. Остальная часть этой статьи следует иерархической классификации, в которой ромбы, квадраты и правые воздушные змеи считаются воздушными змеями. Избегая необходимости рассматривать особые случаи по-разному, эта иерархическая классификация может помочь упростить формулировку теорем о воздушных змеях.^[1]

Воздушный змей с тремя равными углами 108 ° и одним углом 36 ° образует выпуклый корпус из лютня пифагора.^[2]

Воздушные змеи, которые также циклические четырехугольники (т.е. воздушные змеи, которые можно вписать в круг) - это в точности те, которые образованы из двух конгруэнтных прямоугольные треугольники. То есть для этих воздушных змеев два равных угла на противоположных сторонах оси симметрии составляют каждый по 90 градусов.^[3] Эти формы называются правильные воздушные змеи.^[1] Поскольку они описывают один круг и вписаны в другой круг, они двухцентровые четырехугольники. Среди всех бицентрических четырехугольников с данной двумя окружностями радиусы Кайт с максимальной площадью - правый.^[4]

Есть только восемь многоугольников, которые могут замощить плоскость таким образом, что отражение любой плитки через любой из ее краев дает другую плитку; полученная таким образом плитка называется тесселяция краев. Один из них - это тайлинг прямым воздушным змеем с углами 60 °, 90 ° и 120 °. Плитка, которую он производит своими отражениями, - это дельтовидная трехгексагональная черепица.^[5]

Правильный змей

Равноугольный змей, вписанный в Треугольник Рело

Среди всех четырехугольников форма, имеющая наибольшее отношение своего периметр к его диаметр является равнодиагональный воздушный змей с углами π / 3, 5π / 12, 5π / 6, 5π / 12. Его четыре вершины лежат в трех углах и одной из боковых средних точек Треугольник Рело (вверху справа).^[6]

В неевклидова геометрия, а Четырехугольник Ламберта это прямой змей с тремя прямыми углами.^[7]

Характеристики

Примеры выпуклых и вогнутых воздушных змеев. Вогнутый корпус называется дротик.

А четырехугольник это воздушный змей если и только если выполняется любое из следующих условий:

• Две непересекающиеся пары смежных сторон равны (по определению).
• Одна диагональ - это серединный перпендикуляр другой диагонали.^[8] (В вогнутом случае это продолжение одной из диагоналей.)
• Одна диагональ - это линия симметрии (она делит четырехугольник на два равных треугольника, которые являются зеркальным отображением друг друга).^[9]
• Одна диагональ делит пополам пару противоположных углов.^[9]

Симметрия

Воздушные змеи - это четырехугольники, у которых есть ось симметрии по одному из их диагонали.^[10] Любой несамопересечение четырехугольник, имеющий ось симметрии, должен быть либо воздушным змеем (если ось симметрии диагональ), либо равнобедренная трапеция (если ось симметрии проходит через середины двух сторон); к ним относятся как особые случаи ромб и прямоугольник соответственно, каждая из которых имеет две оси симметрии, и квадрат который является одновременно воздушным змеем и равнобедренной трапецией и имеет четыре оси симметрии.^[10] Если пересечения разрешены, список четырехугольников с осями симметрии должен быть расширен, чтобы также включить антипараллелограммы.

Основные свойства

Каждый змей - это ортодиагональный, что означает, что его две диагонали равны под прямым углом друг другу. Причем одна из двух диагоналей (ось симметрии) - это серединный перпендикуляр другого, а также биссектриса угла из двух углов, которые он встречается.^[10]

Одна из двух диагоналей выпуклого воздушного змея делит его на две части. равнобедренные треугольники; другая (ось симметрии) делит змей на два конгруэнтные треугольники.^[10] Два внутренних угла воздушного змея, которые находятся по разные стороны от оси симметрии, равны.

Площадь

Как и в целом, для любого ортодиагональный четырехугольник, площадь А кайта можно рассчитать как половину произведения длин диагоналей п и q:

${\displaystyle A={\frac {p\cdot q}{2}}.}$

В качестве альтернативы, если а и б - длины двух неравных сторон, и θ это угол между неравными сторонами, то площадь

${\displaystyle \displaystyle A=ab\cdot \sin {\theta }.}$

Касательные круги

Каждый выпуклый воздушный змей имеет вписанный круг; то есть существует круг, который касательная со всех четырех сторон. Следовательно, любой выпуклый змей является тангенциальный четырехугольник. Кроме того, если выпуклый воздушный змей не является ромбом, за пределами воздушного змея есть еще один круг, касательный к линиям, проходящим через его четыре стороны; следовательно, каждый выпуклый змей, не являющийся ромбом, является эксантангенциальный четырехугольник.

Для каждого вогнутый кайта существуют две окружности, касательные ко всем четырем (возможно, удлиненным) сторонам: одна находится внутри воздушного змея и касается двух сторон, противоположных вогнутому углу, а другая окружность является внешней по отношению к воздушному змею и касается воздушного змея на двух сторонах к вогнутому углу.^[11]

Двойные свойства

Воздушные змеи и равнобедренные трапеции двойственны: полярная фигура воздушного змея - это равнобедренная трапеция, и наоборот.^[12] Двойственность боковых углов воздушных змеев и равнобедренных трапеций сравнивается в таблице ниже.^[9]

Равнобедренная трапеция	летающий змей
Две пары равных смежных углов	Две пары равных смежных сторон
Одна пара равных противоположных сторон	Одна пара равных противоположных углов
Ось симметрии через одну пару противоположных сторон	Ось симметрии через одну пару противоположных углов
Описанный круг	Вписанный круг

Мозаики и многогранники

Все воздушные змеи выложить плиткой самолет путем многократного переворота вокруг середины их краев, как и все четырехугольники. Воздушный змей с углами π / 3, π / 2, 2π / 3, π / 2 также может покрывать плоскость мозаикой, многократно отражаясь от ее краев; получившаяся тесселяция, дельтовидная трехгексагональная черепица, накладывает мозаику плоскости правильными шестиугольниками и равнобедренными треугольниками.^[13]

В дельтовидный икоситетраэдр, дельтовидный гексеконтаэдр, и трапецоэдр находятся многогранники с конгруэнтной формой змея грани. Есть бесконечное количество равномерные мозаики из гиперболическая плоскость воздушными змеями, простейшим из которых является дельтовидная тригептагональная мозаика.

Воздушный змей и дротик, в которых два равнобедренных треугольника, образующих воздушный змей, имеют углы при вершине 2π / 5 и 4π / 5, представляют собой один из двух наборов основных плиток в Плитка Пенроуза, апериодическая мозаика самолета, обнаруженного физиком-математиком Роджер Пенроуз.

Грань-транзитивная самотесселяция сферы, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с воздушными змеями происходит как однородные двойники: за Группа Кокстера [p, q], с любым набором p, q от 3 до бесконечности, так как эта таблица частично показывает до q = 6. Когда p = q, воздушные змеи становятся ромбовидные; когда p = q = 4, они становятся квадраты.

Дельтоидальные многогранники и мозаики

[

• v
• т
• е

]

Многогранники			Евклидово	Гиперболические мозаики
V4.3.4.3	V4.3.4.4	V4.3.4.5	V4.3.4.6	V4.3.4.7	V4.3.4.8	...	V4.3.4.∞
Многогранники	Евклидово	Гиперболические мозаики
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6	V4.4.4.7	V4.4.4.8	...	V4.4.4.∞
Многогранники	Гиперболические мозаики
V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5	V4.7.4.5	V4.8.4.5	...	V4.∞.4.5
Евклидово	Гиперболические мозаики
V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6	V4.7.4.6	V4.8.4.6	...	V4.∞.4.6
Гиперболические мозаики
V4.3.4.7	V4.4.4.7	V4.5.4.7	V4.6.4.7	V4.7.4.7	V4.8.4.7	...	V4.∞.4.7
Гиперболические мозаики
V4.3.4.8	V4.4.4.8	V4.5.4.8	V4.6.4.8	V4.7.4.8	V4.8.4.8	...	V4.∞.4.8

Условия, когда касательный четырехугольник является воздушным змеем

А тангенциальный четырехугольник это воздушный змей если и только если выполняется любое из следующих условий:^[14]

• Площадь составляет половину произведения диагонали.
• Диагонали равны перпендикуляр. (Таким образом, воздушные змеи - это в точности четырехугольники, которые являются тангенциальными и касательными. ортодиагональный.)
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют одинаковую длину.
• Одна пара противоположных касательные длины иметь одинаковую длину.
• В бимедианцы иметь одинаковую длину.
• Произведения противоположных сторон равны.
• Центр вписанной окружности лежит на линии симметрии, которая также является диагональю.

Если диагонали в касательном четырехугольнике ABCD пересекаться в п, а в кругах в треугольниках ABP, BCP, CDP, DAP иметь радиусы р₁, р₂, р₃, и р₄ соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда^[14]

${\displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.}$

Если вне окружности в те же четыре треугольника напротив вершины п иметь радиусы р₁, р₂, р₃, и р₄ соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда^[14]

${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

Рекомендации

1. Де Вильерс, Майкл (февраль 1994 г.), "Роль и функция иерархической классификации четырехугольников", Для изучения математики, 14 (1): 11–18, JSTOR  40248098
2. Дорогая, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона, John Wiley & Sons, стр. 260, ISBN  9780471667001.
3. Гант, П. (1944), "Заметка о четырехугольниках", Математический вестник, Математическая ассоциация, 28 (278): 29–30, Дои:10.2307/3607362, JSTOR  3607362.
4. Йозефссон, Мартин (2012), «Максимальная площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF), Форум Геометрикорум, 12: 237–241, МИСТЕР  2990945.
5. Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011), «Тесселяция краев и головоломки со складыванием штампов», Математический журнал, 84 (4): 283–289, arXiv:0908.3257, Дои:10.4169 / math.mag.84.4.283, МИСТЕР  2843659.
6. Болл, Д. (1973), «Обобщение π», Математический вестник, 57 (402): 298–303, Дои:10.2307/3616052; Гриффитс, Дэвид; Калпин, Дэвид (1975), "Pi-оптимальные многоугольники", Математический вестник, 59 (409): 165–175, Дои:10.2307/3617699.
7. Евс, Ховард Уитли (1995), Колледж Геометрия, Jones & Bartlett Learning, стр. 245, ISBN  9780867204759.
8. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Издательство информационной эпохи, 2008, стр. 49-52.
9. Майкл де Вильерс, Некоторые приключения в евклидовой геометрии, ISBN  978-0-557-10295-2, 2009, с. 16, 55.
10. Холстед, Джордж Брюс (1896 г.), "Глава XIV. Симметричные четырехугольники", Элементарная синтетическая геометрия, J. Wiley & sons, стр. 49–53..
11. Уиллер, Роджер Ф. (1958), «Четырехугольники», Математический вестник, Математическая ассоциация, 42 (342): 275–276, Дои:10.2307/3610439, JSTOR  3610439.
12. Робертсон, С.А. (1977), "Классификация треугольников и четырехугольников", Математический вестник, Математическая ассоциация, 61 (415): 38–49, Дои:10.2307/3617441, JSTOR  3617441.
13. Видеть Вайсштейн, Эрик В. «Поликит». MathWorld..
14. Йозефссон, Мартин (2011), «Когда тангенциальный четырехугольник - это воздушный змей?» (PDF), Форум Геометрикорум, 11: 165–174.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Летающий змей". MathWorld.
• формулы площади с интерактивной анимацией на Mathopenref.com