Преобразование Клейна - Klein transformation

В квантовая теория поля, то Преобразование Клейна это новое определение полей для изменения теорема спиновой статистики.

Бозе-Эйнштейн

Предположим, что ф и х - такие поля, что если Икс и у находятся космический -отделенные точки и я и j представляют собой спинорные / тензорные индексы,

${\displaystyle [\varphi _{i}(x),\varphi _{j}(y)]=[\chi _{i}(x),\chi _{j}(y)]=\{\varphi _{i}(x),\chi _{j}(y)\}=0.}$

Предположим также, что х инвариантен относительно Z₂ четность (ничего общего с пространственными отражениями!) отображает χ на −χ, но оставляет инвариантным φ. Очевидно, что теории свободного поля всегда удовлетворяют этому свойству. Затем Z₂ четность числа χ-частиц хорошо определена и сохраняется во времени (хотя само число χ-частиц зависит от выбора того, какая из них расщепляется на свободный гамильтониан и взаимодействующий гамильтониан мы делаем в картинка взаимодействия, которого даже не существует для взаимодействующих теорий (число обычно бесконечно)). Обозначим эту четность оператором K_χ который отображает χ-четные состояния в себя, а χ-нечетные состояния в их отрицательные. Тогда K_χ является инволютивный, Эрмитский и унитарный.

Излишне говорить, что указанные выше поля φ и χ не имеют надлежащих статистических соотношений ни для бозона, ни для фермиона. т.е. они бозонны по отношению к себе, но фермионны по отношению друг к другу. Но если вы посмотрите только на статистические свойства, мы обнаружим, что он имеет точно такую ​​же статистику, что и статистика Бозе – Эйнштейна. Вот почему:

Определим два новых поля φ 'и χ' следующим образом:

${\displaystyle \varphi '=iK_{\chi }\varphi \,}$

и

${\displaystyle \chi '=K_{\chi }\chi .\,}$

Это переопределение обратимо (поскольку K_χ является). Теперь пространственноподобные коммутационные соотношения принимают вид

${\displaystyle [\varphi '_{i}(x),\varphi '_{j}(y)]=[\chi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=[\varphi '_{i}(x),\chi '_{j}(y)]=0.\,}$

Ферми – Дирак

Теперь давайте поработаем с примером, где

${\displaystyle \{\phi ^{i}(x),\phi ^{j}(y)\}=\{\chi ^{i}(x),\chi ^{j}(y)\}=[\phi ^{i}(x),\chi ^{j}(y)]=0}$

(как обычно, разделенные пробелом).

Предположим еще раз, что у нас есть Z₂ оператор сохраняющейся четности K_χ действуя только на χ.

Позволять

${\displaystyle \phi '=iK_{\chi }\phi \,}$

и

${\displaystyle \chi '=K_{\chi }\chi .\,}$

потом

${\displaystyle \{\phi '^{i}(x),\phi '^{j}(y)\}=\{\chi '^{i}(x),\chi '^{j}(y)\}=\{\phi '^{i}(x),\chi '^{j}(y)\}=0.}$

Более двух полей

Но что, если у нас больше двух полей? В этом случае мы можем продолжать применять преобразование Клейна к каждой паре полей с «неправильными» соотношениями коммутации / антикоммутации, пока не закончим.

Это объясняет эквивалентность между парастатистика и более знакомый Бозе-Эйнштейн /Статистика Ферми – Дирака.