Коррекция Лангера - Langer correction

В Коррекция Лангера, названный в честь математика Рудольф Эрнест Лангер, является поправкой к Приближение ВКБ для задач с радиальной симметрией.

Описание

В 3D системах

При применении метода аппроксимации ВКБ к радиальному Уравнение Шредингера,

${displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}R(r)}{dr^{2}}}+[E-V_{ extrm {eff}}(r)]R(r)=0}$,

где эффективный потенциал дан кем-то

${displaystyle V_{ extrm {eff}}(r)=V(r)-{frac {hbar ^{2}ell (ell +1)}{2mr^{2}}}}$

(${displaystyle ell }$ то азимутальное квантовое число связанный с оператор углового момента ) полученные собственные энергии и поведение волновой функции отличаются от реального решения.

В 1937 г. Рудольф Э. Лангер предложил исправление

${displaystyle ell (ell +1)ightarrow left(ell +{frac {1}{2}}ight)^{2}}$

которая известна как поправка Лангера или Замена Лангера.^[1] Эта манипуляция эквивалентна добавлению постоянного множителя 1/4 всякий раз, когда ${displaystyle ell (ell +1)}$ появляется. Эвристически считается, что этот фактор возникает из-за того, что диапазон радиального уравнения Шредингера ограничен от 0 до бесконечности, а не всей действительной прямой. При таком изменении постоянного члена в эффективном потенциале результаты, полученные с помощью приближения ВКБ, воспроизводят точный спектр для многих потенциалов. Правильность замены Лангера следует из вычисления ВКБ собственных значений кулоновского значения с заменой, которая воспроизводит хорошо известный результат.^[2]

В 2D-системах

Обратите внимание, что для 2D-систем, поскольку эффективный потенциал принимает вид

${displaystyle V_{ extrm {eff}}(r)=V(r)-{frac {hbar ^{2}(ell ^{2}-{frac {1}{4}})}{2mr^{2}}}}$,

Итак, поправка Лангера идет:^[3]

${displaystyle left(ell ^{2}-{frac {1}{4}}ight)ightarrow ell ^{2}}$.

Эта манипуляция также эквивалентна вставке постоянного множителя 1/4 всякий раз, когда ${displaystyle ell ^{2}}$ появляется.

Обоснование

Еще более убедительным расчетом является вывод Траектории Редже (и, следовательно, собственные значения) радиального уравнения Шредингера с Потенциал Юкавы как методом возмущений (со старым ${displaystyle ell (ell +1)}$ фактор) и независимо вывод методом ВКБ (с заменой Лангера) - в обоих случаях даже до более высоких порядков. Для расчета возмущения см. Мюллер-Кирстен книга^[4] и для расчета WKB Букема.^[5][6]

Смотрите также

• Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера.

Рекомендации

1. Лангер, Рудольф Э. (1937-04-15). «О формулах связи и решениях волнового уравнения». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 51 (8): 669–676. Bibcode:1937ПхРв ... 51..669Л. Дои:10.1103 / Physrev.51.669. ISSN  0031-899X.
2. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. World Scientific (Сингапур, 2012 г.), стр. 404.
3. Брак, Матиас; Бхадури, Раджат (2018-03-05). Полуклассическая физика. CRC Press. п. 76. ISBN  978-0-429-97137-2.
4. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012 г.), глава 16.
5. Boukema, J.I. (1964). «Расчет траекторий Редже в теории потенциала по В.К.Б. и вариационным методам». Physica. Elsevier BV. 30 (7): 1320–1325. Bibcode:1964Phy .... 30.1320B. Дои:10.1016/0031-8914(64)90084-9. ISSN  0031-8914.
6. Boukema, J.I. (1964). «Замечание о вычислении траекторий Редже в теории потенциала в приближении У.К.Б. второго порядка». Physica. Elsevier BV. 30 (10): 1909–1912. Bibcode:1964Phy .... 30.1909B. Дои:10.1016/0031-8914(64)90072-2. ISSN  0031-8914.