Уравнение Лапласа для безвихревого потока - Laplace equation for irrotational flow

Безвихревой поток возникает, когда ротор скорости жидкости всюду равен нулю. Вот когда

$${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=0}$$

Точно так же в случае, когда мы предполагаем, что наша жидкость несжимаема, то есть

$${\displaystyle \rho (x,y,z,t)=\rho {\text{ (a constant)}}}$$

Затем, начиная с уравнение неразрывности:

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\vec {v}})=0}$$

Наше условие несжимаемости означает, что производная плотности по времени равна 0, и что мы можем вытащить плотность из дивергенции и разделить ее, и, таким образом, у нас есть уравнение неразрывности для несжимаемой системы:

$${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0}$$

Теперь мы можем использовать Разложение Гельмгольца записать скорость как сумму градиента скалярного потенциала и ротор векторного потенциала. То есть у нас есть

$${\displaystyle {\vec {v}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\vec {A}}}$$

Обратите внимание, что накладывая наше условие, ${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=0}$ подразумевает, что

$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {A}})=0}$$

Где мы использовали тот факт, что ротор градиента всегда равен 0. Обратите внимание, что ротор ротора функции равномерно равен 0 только для векторного потенциала, равного нулю. Итак, по нашему условию безвихревого потока, мы имеем

$${\displaystyle {\vec {v}}=-\nabla \phi }$$

А затем, используя наше уравнение неразрывности ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0}$, мы можем снова подставить наш скалярный потенциал, чтобы найти уравнение Лапласа для безвихревого потока:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0\,}$

Обратите внимание, что уравнение лапласа является хорошо изученным линейным дифференциальным уравнением в частных производных. У него бесконечное количество решений, однако мы можем отбросить большинство решений при рассмотрении физических систем, поскольку граничные условия полностью определяют потенциал скорости.

Примеры общих граничных условий включают скорость жидкости, определяемую ${\displaystyle {\vec {v}}=-\nabla \phi }$, равный нулю на границах системы.

Есть много совпадений с электромагнетизм при решении этого уравнения в целом, поскольку уравнение Лапласа также моделирует электростатический потенциал в вакууме.

Есть много причин для изучения безвихревого потока, среди них;

• Многие проблемы реального мира содержат большие области безвихревого потока.
• Его можно изучить аналитически.
• Это показывает нам важность Пограничные слои и вязкие силы.
• Он предоставляет нам инструменты для изучения концепций поднимать и тащить.

Рекомендации

• Landau, L.D .; Лифшиц, Э.М. (1984). Механика жидкости (2-е изд.). ISBN  0-7506-2767-0.