Ляпуновское измерение - Lyapunov dimension

В математике динамические системы, Концепция чего-либо Ляпуновское измерение было предложено Каплан и Йорк^[1] для оценки Хаусдорфово измерение из аттракторы. В дальнейшем концепция была развита и строго обоснована в ряде работ, и в настоящее время используются различные подходы к определению ляпуновской размерности. Заметим, что аттракторы с нецелой хаусдорфовой размерностью называются странные аттракторы.^[2] Поскольку прямое численное вычисление хаусдорфовой размерности аттракторов часто представляет собой проблему большой численной сложности, оценки через ляпуновскую размерность получили широкое распространение.^[3] после русского математика Александр Ляпунов из-за тесной связи с Показатели Ляпунова.

Определения

Рассмотрим динамическая система ${\displaystyle {\big (}\{\varphi ^{t}\}_{t\geq 0},(U\subseteq \mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|){\big )}}$, где ${\displaystyle \varphi ^{t}}$ - оператор сдвига по решениям:${\displaystyle \varphi ^{t}(u_{0})=u(t,u_{0})}$, из ODE ${\displaystyle {\dot {u}}=f({u})}$, ${\displaystyle t\leq 0}$, или разностное уравнение ${\displaystyle {u}(t+1)=f({u}(t))}$, ${\displaystyle t=0,1,...}$, с непрерывно дифференцируемой вектор-функцией ${\displaystyle f}$.Потом ${\displaystyle D\varphi ^{t}(u)}$ это фундаментальная матрица решений линеаризованной системы и обозначим через ${\displaystyle \sigma _{i}(t,u)=\sigma _{i}(D\varphi ^{t}(u)),\ i=1...n}$,сингулярные значения в отношении их алгебраическая кратность, упорядоченный по убыванию для любого ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle t}$.

Определение через конечную временную ляпуновскую размерность

Концепция чего-либо конечное время ляпуновской размерности и связанное с ним определение ляпуновской размерности, разработанное в работах Н. Кузнецов,^[4][5] удобен для численных экспериментов, где можно наблюдать только конечное время. Рассмотрим аналог Формула Каплана – Йорка для конечных показателей Ляпунова:

${\displaystyle d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n})=j(t,u)+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(t,u)+\cdots +{\rm {LE}}_{j(t,u)}(t,u)}{|{\rm {LE}}_{j(t,u)+1}(t,u)|}},}$

${\displaystyle j(t,u)=\max\{m:\sum _{i=1}^{m}{\rm {LE}}_{i}(t,u)\geq 0\},}$

относительно упорядоченного набора конечные показатели Ляпунова${\displaystyle \{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}=\{{\frac {1}{t}}\ln \sigma _{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}}$ в момент ${\displaystyle u}$. конечное время ляпуновской размерности динамической системы относительно инвариантный набор ${\displaystyle K}$определяется следующим образом

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}(t,K)=\sup \limits _{u\in K}d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(t,u)\}_{i=1}^{n}).}$

В этом подходе использование аналога формулы Каплана – Йорка строго оправдывается теоремой Дуади – Остерле:^[6] что доказывает, что для любого фиксированного ${\displaystyle t>0}$то конечное время ляпуновской размерности для замкнутого ограниченного инвариантного множества ${\displaystyle K}$является верхней оценкой размерности Хаусдорфа:

${\displaystyle \dim _{\rm {H}}K\leq \dim _{\rm {L}}(t,K).}$

Ищем лучшую такую ​​оценку ${\displaystyle \inf _{t>0}\dim _{\rm {L}}(t,K)=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u)}$, измерение Ляпунова определяется следующим образом:^[4][5]

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}K=\liminf _{t\to +\infty }\sup \limits _{u\in K}\dim _{\rm {L}}(t,u).}$

Возможности изменения порядка ограничения по времени и супремума над множеством обсуждаются, например, в.^[7][8]

Отметим, что указанная выше ляпуновская размерность инвариантна относительно липшицевости. диффеоморфизмы.^[4][9]

Точное измерение Ляпунова

Пусть матрица Якоби ${\displaystyle Df(u_{\text{eq}})}$ в одном из положений равновесия имеют простые действительные собственные значения:${\displaystyle \{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n},\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\geq \lambda _{i+1}(u_{\text{eq}})}$,тогда

${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{\text{eq}}=d_{\rm {KY}}(\{\lambda _{i}(u_{\text{eq}})\}_{i=1}^{n}).}$

Если супремум локальных ляпуновских размерностей на глобальном аттракторе, включающем все состояния равновесия, достигается в точке равновесия, то это позволяет получить аналитическую формулу точной ляпуновской размерности глобального аттрактора (см. Соответствующие Гипотеза Идена ).

Определение через подход статистической физики и эргодичность

После статистическая физика подход и предполагая эргодичность оценивается ляпуновская размерность аттрактора^[1] по предельному значению локальной ляпуновской размерности ${\displaystyle \lim _{t\to +\infty }\dim _{\rm {L}}(t,u_{0})}$ из типичный траектория, принадлежащая аттрактору. ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}}$ и ${\displaystyle \dim _{\rm {L}}u_{0}=d_{\rm {KY}}(\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{i=1}^{n})=j(u_{0})+{\frac {{\rm {LE}}_{1}(u_{0})+\cdots +{\rm {LE}}_{j(u_{0})}(u_{0})}{|{\rm {LE}}_{j(u_{0})+1}(u_{0})|}}}$.С практической точки зрения неукоснительное использование эргодическая теорема Оселедека, проверка того, что рассматриваемая траектория ${\displaystyle u(t,u_{0})}$ это типичный траектории, и использование соответствующих Формула Каплана – Йорка - сложная задача (см., например, обсуждения в^[10]). Точные предельные значения конечных показателей Ляпунова, если они существуют и одинаковы для всех ${\displaystyle u_{0}\in U}$, называются абсолютный те^[3] ${\displaystyle \{\lim \limits _{t\to +\infty }{\rm {LE}}_{i}(t,u_{0})\}_{i}^{n}=\{{\rm {LE}}_{i}(u_{0})\}_{1}^{n}\equiv \{{\rm {LE}}_{i}\}_{1}^{n}}$ и используется в Формула Каплана – Йорка Примеры неукоснительного использования эргодической теории для вычисления показателей Ляпунова и размерности можно найти в.^[11][12][13]

использованная литература

1. Каплан Дж., Йорк Дж. (1979). «Функционально-дифференциальные уравнения и приближения неподвижных точек». Хаотическое поведение многомерных разностных уравнений. Springer. С. 204–227.
2. Ruelle D .; Такенс Ф. (1971). «О природе турбулентности». Коммуникации по математической физике. 20 (3): 167–192. Bibcode:1971CMaPh..20..167R. Дои:10.1007 / bf01646553.
3. Фредериксон, Ф .; Kaplan, J .; Yorke, E .; Йорк, Дж. (1983). «Ляпуновская размерность странных аттракторов». Журнал дифференциальных уравнений. 49 (2): 185–207. Bibcode:1983JDE .... 49..185F. Дои:10.1016/0022-0396(83)90011-6.
4. Кузнецов, Н.В. (2016). «Ляпуновская размерность и ее оценка методом Леонова». Письма о физике A. 380 (25–26): 2142–2149. arXiv:1602.05410. Bibcode:2016ФЛА..380.2142К. Дои:10.1016 / j.physleta.2016.04.036.
5. Кузнецов, Н.В .; Леонов, Г.А .; Мокаев, Т.Н .; Прасад, А .; Шримали, доктор медицины (2018). «Конечная ляпуновская размерность и скрытый аттрактор системы Рабиновича». Нелинейная динамика. 92 (2): 267–285. arXiv:1504.04723. Дои:10.1007 / s11071-018-4054-z.
6. Douady, A .; Остерле, Дж. (1980). «Измерение Хаусдорфа аттракционов». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A. 290 (24): 1135–1138.
7. Константин, П .; Foias, C .; Temam, R. (1985). «Аттракторы, представляющие турбулентные потоки». Мемуары Американского математического общества. 53 (314): 1–67. Дои:10.1090 / memo / 0314.
8. Eden, A .; Foias, C .; Темам, Р. (1991). «Локальные и глобальные показатели Ляпунова». Журнал динамики и дифференциальных уравнений. 3 (1): 133–177. Bibcode:1991JDDE .... 3..133E. Дои:10.1007 / bf01049491.
9. Кузнецов, Н .; Алексеева, Т .; Леонов, Г. (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерность Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика. 85 (1): 195–201. arXiv:1410.2016. Дои:10.1007 / s11071-016-2678-4.
10. П. Цвитанович; Р. Артузо; Р. Майнери; Г. Таннер и Г. Ваттай (2017). Хаос: классический и квантовый (PDF). Институт Нильса Бора.
11. Ледраппье, Ф. (1981). «Некоторые отношения между размерностью и показателями Ляпунова». Коммуникации по математической физике. 81 (2): 229–238. Bibcode:1981CMaPh..81..229L. Дои:10.1007 / bf01208896.
12. Benedicks, M .; Янг, Л.-С. (1993). «Меры Синая – Боуэна – Рюэля для некоторых отображений Хенона». Inventiones Mathematicae. 112 (1): 541–576. Дои:10.1007 / bf01232446.
13. Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2021). Оценка размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Чам: Спрингер.